b0=1, bn+1=..., Folgen , Beweis

Question

Wir betrachten die Folge \( ({b}_{n})^{\infty}_{n=0} \) definiert durch \({b}_{0} = 1 \) und \( {b}_{n+1} = f({b}_{n}) \) für n= 0, 1, 2, .. , mit \( f(x) = \frac{2}{3} (x + {x}^{-2}) \).

Zeigen/begründen Sie folgende Aussagen.

(1) \( {b}_{n} ≥ 1 \) für alle n∈ℕ

(2) \( {b}_{n} ≤ 2 \) für alle n∈ℕ

(3) \( | f'(x)| ≤ \frac{2}{3} \) für alle x ∈ [1,2]

(4) \( | {b}_{n+1} - {b}_{n}| ≤ \frac {2}{3} |{b}_{n} - {b}_{n-1}| \) für alle n ∈ ℕ\{0}

(5) \( |{b}_{m} - {b}_{n}| ≤ \sum_{k=n}^{m-1} |{b}_{k+1} - {b}_{k}| ≤ 3 |{b}_{n+1} - {b}_{n}| \) für alle n,m ∈ ℕ\{0} mit m≥n.

(6) \( |{b}_{m} - {b}_{n}| ≤ {\frac {2}{3}}^{n} \) für alle n,m ∈ ℕ\{0} mit m≥n

(8) \( ({b}_{n})^{\infty}_{n=0} \) ist eine Cauchy Folge.

(9) \( ({b}_{n})^{\infty}_{n=0} \) konvergiert.

(a) Welchen Wert hat \( \lim_{n\to\infty} {b}_{n} \) ?

(b) Kann man \( \lim_{n\to\infty} {b}_{n} \) berechnen ohne (1)-(8) ?

Das ist eine alte Klausuraufgabe. Original waren es zwei Aufgaben ( (1) - (5) und (6) - (b) ). Ich steh komplett auf dem Schlauch. Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll. Z.B die (1) kann man ja einfach durch das erste Glied der Folge zeigen, aber als Beweis taugt das ja nicht. Dann habe ich überlegt mit Induktion, aber das wäre doch zu aufwändig und da es eine Klausuraufgabe ist, kann der Lösungsweg nicht so aufwändig sein, oder?

Comments

Zeige (1) z.B. per Induktion über \(n\). Aus \(b_n\ge1\) folgt$$b_{n+1}-1=\frac23\left(b_n+\frac1{b_n^{\,2}}\right)-1=\frac1{3b_n^{\,2}}(2b_n^{\,3}-3b_n^{\,2}+2)$$$$\quad=\frac1{3b_n^{\,2}}\big((b_n-1)^2\cdot(2b_n+1)+1\big)>0.$$

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(2) Aus \(b_n\le2\) folgt nach (1) per Induktion über \(n\)$$b_{n+1}-2=\frac2{3b_n^{\,2}}(b_n^{\,2}-3b_n^{\,2}+1)<\frac2{3b_n^{\,2}}(b_n^{\,2}-3b_n^{\,2}+2)$$$$\quad=\frac2{3b_n^{\,2}}\big((b_n-1)^2-3\big)\cdot(b_n-1)\le0.$$