Question

Bestimmen Sie rechnerisch Real- und Imaginärteil von z=(1-i)^{1+i}. Wann gilt |z| <1?

Diese Aufgabe beschäftigt mich schon eine Weile, vielleicht kann mir jemand weiter helfen. Sie soll ohne Taschenrechner gelöst werden.

Mein Ansatz bisher:

v^w = e^{ w* ln v }

und somit:

z= e^{ 1+i * ln 1-i }

Also ln(z) bzw. ln(1-i) ausrechnen:

Hauptzweig -> ln(√2) - i*pi/4

Ergibt:

z = e^{ 1+i * ln √2 - i*pi/4}

Bin ich bis hier hin richtig?

Wenn ich nun den Teil in der Potenz ausmultipliziere erhalte ich:

e^{ ln√2+pi/4 + i* ln √2-pi/4}

Ich könnte das nun noch auseinander nehmen und in die Form e^Term * e^Term bringen, hier komme ich dann aber nicht mehr weiter.

Ich hoffe, dass die Formeln verständlich sind, beim Klammern hat der Parser gesponnen, also hab ich sie rausgelassen.

Answer 1

Ich würde 1-i in Exponentialform darstellen und dann weiterrechnen.

e^1.5pi(1+i)i=e^{1.5*pi*i-1.5*pi}

Comments

Was ist dann mit r? Bei der Exponentialform ist r = |z| , hier also √2 oder hab ich was übersehen?

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Du hast natürlich recht. Vor e muss noch die Wurzel aus 2. Sorry !!

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So richtig auf einen grünen Zweig komme ich leider immer noch nicht.

Kannst du mir sagen, ob der Ansatz mit der Formel z^w = e^{w * ln z} in die richtige Richtung geht?

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So stell ich mir die Lösung vorMathelounge1.pdf (0,2 MB)

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okay, das deckt sich mit meiner Lösung, der Unterschied ist, du nimmst 3pi/2, und ich -pi/4 und andersherum, ergibt jedoch die selben Werte. Ich denke nun auch, dass das richtig ist. Hab es als komplexe Form und als eulersche Form bei Wolfram eingegeben und die dezimale Lösung verglichen. Scheint zu stimmen. Die Lösung als eulersche sieht schlicht eklig aus :)

Also danke, d.h. wir sind/waren beide auf dem richtigen Weg.

Jetzt ist es nur noch der zweite Teil der Aufgabe:

wann gilt |z| < 1 ?

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Der Betrag von z ist das erste e-hoch in meiner Lösung. das brauchst Du nur auszurechnen. Ich glaube das gilt immer.PS: Du musst -pi/2 nehmen

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Ahh, verstehe. Wieder nicht bis zum Schluss gedacht.

Danke, du hast mir sehr geholfen.