1) sieht ok aus.
2) in (n element N)
Es kommen hier immer wieder (sog. zyklisch) die gleichen 4 Zahlen vor. Die 4 Fällen entsprechen in modulo 4), ich schreibe 4k, 4k+1 , 4k+2 und 4k + 3. (k Element N)
Vorüberlegung:
Wegen i4 = 1 ist auch i4k = 1 k Elem. N. Re(i4k) = 1, Im(i4k) =0
i1+ 4k = i*i4k = i* 1 = i Re(i1+4k) = 0 , Im (i1+ 4k = 1
i2+ 4k =i2 * i4k = -1*1 = -1 Re(i2+4k) = -1, Im(i2 + 4k) =0
i3+ 4k =i3 * i4k = -i*1 = -i Re(i3+4k) = 0, Im(i3 + 4k) = -i
3) z²
Annahme: z=x+ iy
z2 = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy - y2
Re (z2) = x2 - y2 Im(z2) = 2xy
Re (z2) = (Re z)2 - (Im z)2 Im(z2) = 2*(Re z)( Imz)
4) 1/z, (z ungleich 0)
Annahme z= x + iy
1/z = 1/(x+iy) |Nun muss das i aus dem Nenner. Erweiterung mit x-iy. Schreib das ab mit Bruchstrichen!
= (x-iy)/((x+iy)*(x-iy))
=(x-iy)/(x2 + y2)
Re (1/z) = x / (x2 + y2) Im(1/z) = -y/ (x2 + y2)
Re(1/z) = (Re z) / ((Re z)2 + (Im z)2)
Im (1/z) = (- Im z) / ((Re z)2 + (Im z)2)
5) z+w, zw
Für z = x + iy und w = u + iv gilt
z+w = x + iy + u + iv
Re (z+w) = x + u Im (z+ w) = y + v
Re (z+w) = Re z + Re w Im (z+ w) = Im z + Im w
zw = (x + iy) (u+ iv)
= xu - yv + (xv + yu)i
Re (zw) = xu - yv
Re(zw) = (Re z)(Re w) - (Im z)(Im w)
Im (zw) = (Re z)(Im w) + (Im z)(Im w)