Stellen Sie den Wahrscheinlichkeitsraum mit Ergebnismenge auf.

Question

Hallo :)

ich habe große Probleme bei folgender Aufgabe:

ich habe 10 Kugeln von denen 2 blaue und 8 grüne, ich ziehe 3 Kugeln ohne zurücklegen und soll den Wahrscheinlichkeitsraum mit Ergebnismenge aufstellen.. Ich habe so viel gegoogelt aber verstehe es nicht so ganz

Wäre dann meine Ergebnismenge mit  n! / (k! (n-k)! definiert? also sprich: Ergebnismenge= 10! / (3! (10-3)!) = 120? ist das dann meine Ergebnismenge und wenn ja ist das so richtig ? Ist dann mein Wahrscheinlichkeitsraum = {B1,b2,g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8} ?

und falls seid ihr dann so lieb und könnt mir erklären was richtig wäre und was an meinem Ansatz falsch ist?

Dankeschön :)

Answer 1

Hallo Ayleen,

die Definition des Begriffs "Wahrscheinichkeitsraum" ist nicht eindeutig:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum

 Meist versteht man darunter ein Paar (Ω,P), wobei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ist und P eine Abbildung P: ℘(Ω) → [ 0,1] (= Wahrscheinlichkeitsmaß).  ℘(Ω) ist dabei die Potenzmenge ( = Menge aller Teilmengen) von Ω, also die Menge aller Ereignisse des Zufallsexperiments.

Leider ist im vorliegenden Fall auch die Ergebnismenge Ω nicht eindeutig bestimmt. Sie hängt davon ab, ob man sich bei den Ergebnissen nur für die jeweilige Anzahl der blauen und grünen Kugel interessiert oder ob man deren Reihenfolge bei den Ziehungen berücksichtigen muss.

Im ersten Fall kann man z.B.  Ω = { 0b , 1b, 2b } wählen.

Da Ω dann 3 Elemente hat, gibt es 2³ = 8 Ereignisse, für die man die jeweilige Wahrscheinlichkeit angeben muss, um das Wahrscheinlichkeitsmaß  P anzugeben:

Ereignis E:                                            P(E)

{  }                                      0

{0b}                                   8/10 * 7/9 * 6/8          =   7/15

{1b}                                   3 * 2/10 * 8/9 * 7/8    =  7/15               [ Elementareignisse ]

{2b}                                   3 * 2/10 * 1/9 * 8/8    =  1/15

{0b , 1b}                                                                14/15

{0b , 2b}                                                                 8/15

{1b , 2b}                                                                 8/15

{0b , 1b , 2b}                                                             1

Da sich die W. der Ereignisse mit mehreren Ergebnissen als Summe der W. der Elementarereignisse der darin enthaltenen Ergebnisse direkt berechnen lassen, sollst du möglicherweise nur die "Wahrscheinlichkeitverteilung" angeben, die lediglich die W. der Elementarereignisse angibt, dabei aber das W-Maß vollständig bestimmt:

ω ∈ Ω            0b             1b        2b

 P({ω})         7/15         7/15       1/15

Mit Berücksichtigung der Reihenfolge erhält man hierfür

( Ω = { ggg, ggb, gbg, bgg, bbg, bgb, gbb } ):

ω ∈ Ω           ggg        ggb      gbg     bgg     bbg      bgb     gbb

 P({ω})         7/15        7/45      7/45     7/45     1/45     1/45     1/45  

[ die Angabe des W.-Maßes müsste hier für 2⁷ = 128 Ereignisse erfolgen :-) ]

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo :)

danke für deine Antwort, aber noch eine Verständnisfrage:

 Ω =( { ggg, ggb, gbg, bgg, bbg, bgb, gbb } ) stellt ja die Ergebnismenge dar, ist dann P({ω}) der zugehörige Wahrscheinlichkeitsraum für die einzelnen paare aus Ω ?

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 P({ω})  ist die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Elementarereignis {ω} ( etwas ungenauer: ein einzelnes Ergebnis ω ).

Deshalb steht z.B. in der letzten Tabelle unter dem Ergebnis  ω = ggg  dessen Wahrscheinlichkeit  P({ω}) = P( {ggg} )  = 7/15

Der Wahrscheinlichkeitsraum  (Ω , P)  ist   Ω  zusammen mit der Zuordnung der Wahrschenlichkeiten zu den einzelnen Ereignissen.

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also gibt es dann keine genaue Schreibweise für den Wahrscheinlichkeitsraum, verstehe ich das richtig?

oder gibt es irgendeine Möglichkeit (Ω , P) zusammen zuführen?

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Du kannst den W.-Raum nur angeben, indem du Ω und die zugehörige Zuordnung P der Wahrscheinlichkeiten angibst.

Dann schreibst du W.-Raum = ( Ω , P )