Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum angeben, Kombinatorik

Question

Aufgabe:

9 Personen gehen zufällig in eine von 3 Gruppen (unabhängig voneinander, keine Gruppengrößen Beschränkung).

Geben Sie einen geeigneten Laplace-Wahrscheinlichkeitenraum zur Beschreibung dieses Szenarios an. Was ist die Mächtigkeit von Ω?

Problem/Ansatz:

Ω wären ja alle möglichen Kombinationen von Personengruppen, also z.B. wenn A,B,C,... die Personen sind, sind {ABC, DEF, GHI} und {AB, CDEFGH, I} zwei Elemente von Ω, wobei Ω eine Mächtigkeit von 9^3 = 729 hat.

Ich würde mal behaupten, dass die Reihenfolge der Personen pro Gruppe egal ist (darum {...} und nicht (...)). Also ob Gruppe 1 ABC, ACB, BCA, BAC, CAB oder CBA enthält dürfte egal sein, solange die Personen A, B, C in Gruppe 1 sind. Das minimiert die Mächtigkeit von Ω .....

Des Weiteren wird hier "gezogen ohne zurücklegen", also komme ich bei Wahrscheinlichkeitsraum auf folgende Beschreibung:

Ω = {w = ({x1, x2, ..., xk}, {x1, x2, ..., xk}, {x1, x2, ..., xk}) | xi ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, x1 < x2 < ... < xk}

Vielleicht kann jemand meine Ansatz nachvollziehen xD

Vielen Dank!!

matheJunior

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Laplace Wahrscheinlichkeit. 9 Personen zufällig eine von 3 Gruppen

Stichworte: binomialverteilung,wahrscheinlichkeit,stochastik,kombinatorik

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Answer 1

Es wird für jede Person eine Gruppe gewählt, also 9 mal aus 3 Möglichkeiten. Es gilt also \(|\Omega|=3^9\).

In deiner Definition von \(\Omega\) sind in jeder Gruppe die gleichen k Personen. Wenn du die Gruppen in den Ergebnissen direkt darstellen möchtest, könnte man folgendes machen:

\(\Omega=\{(A,B,C)\; |\; P=\{1,\dots ,9\},\; A\sube P,\; B\sube P\setminus A,\; C = P \setminus (A \cup B) \}\)

Ansonsten wäre meine Wahl aber einfach nur:

\(\Omega=\{(x_1,\dots,x_9)\;|\;x_i\in\{1,2,3\},\; i\in\{1,\dots,9\} \}\)

Dies ist aber natürlich nur die Ergebnismenge, für den Wahrscheinlichkeitsraum brauchst du noch Ereignissystem \(\Sigma\) und Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\).

Comments

Verstehe, vielen Dank!

P ist hier doch die Gleichverteilung auf Ω, d.h. P(A) = Σ(1/|Ω|) = |A| / |Ω| mit A Teilmenge von Ω, richtig?

Gruß

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Ja, richtig.

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Top!

Jetzt darf ich ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse sind:

(b) genau vier Personen die zweite Gruppe wählen?
(c) jeweils drei Personen in jede Gruppe gehen?
(d) die neun Personen sich in drei Gruppen zu je einer, vier und vier Personen auf die drei Gruppen aufteilen?

Zu a): Einfach mithilfe der Binomialverteilung ausrechnen, also (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k) und n = 9, p = 1/3, k = 9. Da bekomm ich ca. 20,5% raus. Kann man so machen oder?

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Kann man so machen, oder etwas passender zu deinem Wahrscheinlichkeitsmaß:

\(|A| = {9\choose4}\cdot2^{9-4}=4032\\ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac {4032} {3^9}\approx 20,5\%\)

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Noch eine kleine Rückfrage:

Steht in der Aufgabe irgendwas zur Unterscheidbarkeit der Gruppen? Alles hier geschriebene geht davon aus, dass die Gruppen klar unterscheidbar sind, dass also "alle Leute in der ersten Gruppe" etwas anderes ist, als "alle Leute in der dritten Gruppe". Bei deiner recht knappen Aufgabenformulierung scheint mir das aber nicht ganz klar zu sein.

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Ja, hier die ausführliche Aufgabenformulierung: Neun Studenten belegen eine Veranstaltung und müssen sich für eine Übungsgruppe anmelden. Es gibt drei Übungsgrup- pen zur Auswahl, wobei jede Gruppe keine Beschränkungen für die Anzahl an Teilnehmern hat. Da sich die Studenten nicht kennen und keine Präferenzen bezüglich der Gruppen haben, wählt jede Person zufällig und unabhängig von den anderen Personen eine Gruppe.

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Zu Aufgabe c), kann ich das so lösen:  " (Wahrscheinlichkeit, Genau 3 in Gruppe A)*3", also:

|A| = ((9 über 3) * 2^(9-3))*3 = 16.128

P(A) = |A|/|Omega| =  16128/(3^9) = 81,9%

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Zu Aufgabe d): Würde ich auf 3 Teile aufteilen, aufaddieren. Also:

|A| = ((9 über 1) * 2^(9-1)) + ((9 über 4) * 2^(9-4)) + ((9 über 4) * 2^(9-4)) = ...

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\(\binom{9}{3}\cdot 2^6\cdot 3\)

wären die Möglichkeiten eine Gruppe zu wählen in die 3 zufällige Personen kommen und die restlichen 6 beliebig auf die anderen beiden Gruppen zu verteilen.

Wenn in jeder Gruppe 3 Personen sein sollen ist

\(|A|=\binom{9}{3}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{3}\)

Bei (d) ist dein Denkfehler der gleiche, richtig muss es lauten

\(|A|=\binom{9}{1}\cdot\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4}\cdot\binom{3}{1}\),

wobei der letzte Faktor wieder für die Auswahl der Gruppe mit nur einer Person steht.

Answer 2

(b) genau vier Personen die zweite Gruppe wählen?

(9 über 4)·(1/3)^4·(2/3)^5 = 0.2048

(c) jeweils drei Personen in jede Gruppe gehen?

(9 über 3)·(6 über 3)·(1/3)^9 = 0.0854

(d) die neun Personen sich in drei Gruppen zu je einer, vier und vier Personen auf die drei Gruppen aufteilen?

(3 über 1)·(9 über 1)·(8 über 4)·(1/3)^9 = 0.0960

Comments

Bei (d) fehlt noch der Faktor 3 für die Auswahl der Gruppe mit nur einer Person :)

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Richtig. Ich füge mal den Faktor an.