anfangswertproblem Ertragssteigerung

Question

ich benötige eure hilfe irgendiwe komme ich hier nicht klar.

Ertragsteigerung durch Düngung kann so modelliert werden: dE/ dx = k(  E_max - E )

Dabei sind x die Düngermenge pro Hektar, Hekarertrag abhängig von x, k,  E_max ist der Maximalertrag pro Hektar. Als Anfangsbedingung wird E(0)=0 angenommen.

log₁₀ ( E_max - E ) = log₁₀ (E_max ) - cx

Zeigen Sie, dass beide Formulierungen für c= k/ l( ln10) äquivalent sind.

Answer 1

Hi,
die Dgl. kann man durch Trennung der Variablen lösen. Es folgt
$$ (1) \quad \int_0^E \frac{ds}{E_{Max}-s} = \int_0^x k \ dx $$ Also
$$  (2) \quad \ln(E_{Max}) - \ln(E_{Max} - E) = kx $$
Da gilt $$ \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} $$ folgt
$$ (3) \quad \log(E_{Max} - E) = \log(E_{Max}) - \frac{k}{\ln(10)}x  $$

Comments

erstmal danke für deine hilfe.

wie kommst du beid einer 1.gleichung auf s?
bzw. was ist s?

trennung der variabeln heisst ja x auf einer seite und E auf einer Seite

also

∫  dE / (E_max -E) =  ∫ k * dx

so habe ich das eigentlich gelrnt

dann integieren

ln I E_max -E I = kx  + C       e hoch

I E_max - E I = e^kx * C

E_max - E = C* e^kx

E= -C*e^kx + E_max

Stimmt das??

dann Anfangswertproblem

0= E(0)=  -C*1+ E_max

C= E_max

also:

E= - E_max*e^kx + E_max

aber das kann nur falsch sein, in den lösungen steht:

E_max - E(x) = E_max* e^{-kx}

log ( E_max - E(x)) = log (E_max ) + log (e^{-kx})

loge^-kx = (ln e^-kx) / (ln 10) = -kx/ (ln10)

ich kann das nicht nachvllziehen. ich verstehe nicht mal was ich falsch mache.

ich bitte um hilfe. danke

---

Hi,

Dein Ansatz bzgl. Trennung der Variablen ist richtig, aber Du musst die Intergrationsgrenzen berücksichtigen. Deshalb habe  ich eine  andere Bezeichnung für die  Integrationsvariable gewählt, hier \( s \), weil ja E in der Integrationsgrenze steht.

Die von Dir genannte Lösung bekommst Du aus meiner zweiten Gleichung.

---

danke, wie kommst du denn auf die 2.gleichung?

---

Gleichung zwei ist einfach das Integral lösen und daran denken das die Stammfunktion von \( \frac{1}{x} \)  der \( \ln(x) \) ist. Stammfunktion von \( k \) ist \( kx \)

Zusätzlich musst Du noch eine Transformation machen, z.B. \( z = E_{Max} - s \) und die Integrationsgrenzen mit transformieren.

---

danke, mein problem ist wir haben das erst neu gelernt und wir haben noch nie die integralgrenzen mitgenommen bzw. berücksichtigt wir haben immer zuerst die variabeln getrennt und dann mithilfe des angegbenen punktes das anfangswertproblem gelöst. gibt es vielleicht eine methode mit der man weiter machen kann wo ich stehen geblieben bin? wenn nicht, bin ich auch bereit die grenzen zu berücksichtigen.

---

Okay, ich habe das nun selbst verstanden also wie man auf die 2. gleichung kommt. was muss ich nunn machen?

---

Hi, jetzt die Gleichung nach \( E(x) \) auflösen.

$$  (2) \quad \ln(E_{Max}) - \ln(E_{Max} - E) = kx $$

Also

$$ \ln(E_{Max} - E) = \ln(E_{Max}) -kx  $$ das mit Basis \( e \) potenzieren ergibt

$$ E_{Max} - E = E_{Max} \cdot e^{-kx} $$ also

$$ E(x) = E_{Max} ( 1 - e^{-kx} )  $$