Anfangswertproblem für 2*sqrt(|y(x)|)

Question

Ich habe eine Frage zu folgenden Anfangswertproblem:

\( y^{\prime}(x)=2 \sqrt{|y(x)|} \) mit \( y(0)=0 \).

Problem/Ansatz:

Normalerweise würde ich jetzt Integrieren und dann das C (Konstante) ermitteln sowie y(x) vollständig hinschreiben - was mich jetzt allerdings etwas verwirrt ist, dass da in der Angabe von y^(x) schon y(x) vorkommt. Wie mache ich das jetzt (so eine Differentialgleichung als AWP ist mir neu)?

Comments

so eine Differentialgleichung als AWP ist mir neu

Diese Aufgabe ist ein Gegenbeispiel (siehe meine Antwort). Wenn Dir AWP neu sind, solltest Du Dich zunächst mit den Lösungsmethoden im "Normalfall" vertraut machen.

Answer 1

Dieses Problem ist ein klassisches Gegenbeispiel. Es gibt unendlich viele Lösungen, z.B.

1. \(\forall x \in \R: \quad y(x):=0\)

2. \(y(x):=-x^2 \text{  für } x\leq 0\) und \(y(x):=x^2 \text{  für } x>0\)

3. 2. \(y(x):=-x^2 \text{  für } x\leq 0\) und \(y(x):=0 \text{  für } 0<x \leq 2\) und \(y(x):=(x-2)^2 \text{  für } x>2\)

Und so kann man offenbar beliebig viele Lösungen definieren.

Comments

Danke für deine Erklärung - der "Normalfall" des AWP war mir bekannte, nur dieser etwas speziellere Fall noch nicht

Answer 2

Vielleicht so beginnen

\(   \frac{dy}{dx} = 2\cdot |y|^{ \frac{1}{2}}  \)

==>  \(  \frac{1}{2} |y|^{ \frac{-1}{2}} dy = dx  \)

Dann integrieren

    \(  - |y|^{ \frac{1}{2}} = x + C \)