Definitionsbereich bzw Definitionslücken und etc. von f : Df --> R, x --> f(x)= lx²-1l / ((x-1)(x+2))

Question

Bestimmen Sie für f : Df --> R, x --> f(x)=  lx²-1l / ((x-1)(x+2))

• den maximal möglichen Definitionsbereich 

• untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken

 • und bilden Sie die Grenzwerte lim x→∞ f(x) und lim x→−∞ f(x) .

 • Was passiert an der Stelle x = −1 ?

 • Fertigen Sie abschließend eine Skizze des Funktionsgraphen an. 

Was ich tuen soll ich ja halbwegs klar für mich, nur stört mich der obere Bruch, also die lx²-1l im Betrag. Weiß  nicht genau was ich mit dem Betrag anfangen soll oder ob ich ihn ignorieren kann, wäre nett wenn mir jemand einen kleinen schubser geben könnte

Comments

Klammerung vergessen ?

l x²-1 l / [ (x-1)(x+2 ) ]

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Ist nicht dabei, aber wäre doch im Prinzip sowieso gleich ? 

Hoffe ihr versteht welche Gleichung ich meine...

schon mal vereinfacht wäre das ja 

l x²-1 l / x²+x-2

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EDIT: Klammern sind zwingend, wenn du keine richtigen Bruchstriche verwendest, gilt Punkt- vor Strichrechnung und dann steht Unsinn da, wenn du keine Klammern verwendest. Habe Klammern in der Frage ergänzt, so dass die vorhandene Antwort passt. 

Answer 1

f : Df --> R, x --> f(x)= lx²-1l / ((x-1)(x+2))

• den maximal möglichen Definitionsbereich Da ist nur der Nenner wichtig:  Bei 1 und -2 nicht definiert.

• untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken

lx²-1l / ((x-1)(x+2))  =    lx-1l*|x+1| / ((x-1)(x+2))also in der Nähe von x=1 ist es  für x < 1  

  f(x)  =   -  (x+1) / (x+2)  geht also gegen  - 2/3und für x gegen  1 von rechts ist der Grenzwert  2/3


Also dort eine Sprungstelle. Bei -2 eine Polstelle .

 • und bilden Sie die Grenzwerte lim x→∞ f(x) und lim x→−∞ f(x) .beide = 1

 • Was passiert an der Stelle x = −1 ?   s.o.

~plot~ abs (x^2-1)/ ((x+2)(x-1)) ~plot~

 • Fertigen Sie abschließend eine Skizze des Funktionsgraphen an. 

Comments

Für den Grenzwert darf ich es doch so schreiben oder?

x²-1 / x²+x-2    l : x²

1-1/x² / 1+x/x² -2/x²

-> 1/1 = 1

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Sehe mein Fehler schon selber ein, Entschulidung :)

Answer 2

> den maximal möglichen Definitionsbereich

Da sind die Betragsstriche egal

> untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken

Hängt von Vorzeichen von Zähler und Nenner in der Nähe der Definitionslücken ab (minus mal minus ergibt plus und so). Aufgrund der Betragsstriche im Zähler ist der Zähler in der Nähe der Definitionslücken positiv.

> und bilden Sie die Grenzwerte lim x→∞ f(x) und lim x→−∞ f(x) .

Siehe Definitionslücken.

> Was passiert an der Stelle x = −1 ?

Nullstelle. Mit Vorzeichenwechsel wenn der Nenner dort ein Vorzeichenwechsel hat.