ist folgende Abbildung linear? L((x,y)) = (x,-y)

Question

Ich hab leider keinen schimmer wie man das löst, aber klar ist das man hier etwas beweisen muss :(Hier gibt es noch 2 weitere Aufgaben :L((x,y)) = (x +1, y)L(x) = (x, 2x)wäre euch echt dankbar für eure Hilfe .

Comments

Weißt du denn, was eine lineare Abbildung ist?

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nein nicht wirklich..

Answer 1

Sodass L linear ist muss folgendes gelten: $$L(\overline{x}+\overline{y})=L(\overline{x})+L(\overline{y})$$ und $$L(\lambda \overline{x})=\lambda L(\overline{x})$$ wobei $$\overline{x}=(x_1, x_2) , \ \ \overline{y}=(y_1, y_2)$$

Wir haben die Abbildung L(x,y)=(x,-y).

Es gilt folgendes:

$$L(\overline{x}+\overline{y})=L(x_1+y_1, x_2+y_2)=(x_1+y_1,-(x_2+y_2))=(x_1,-x_2)+(y_1,-y_2) \\ =L(x_1,x_2)+L(y_1,y_2)=L(\overline{x})+L(\overline{y})$$

$$L(\lambda\overline{x})=L(\lambda x_1, \lambda  x_2)=(\lambda x_1,-\lambda x_2)=\lambda (x_1,-x_2)=\lambda L(x_1,x_2)=\lambda L(\overline{x})$$