Dirichlet-Funktion. Zeigen Sie, dass f in keinem Punkt a ∈ ℝ stetig ist

Question

Sei f: ℝ → ℝ die Dirichlet-Funktion gegeben durch:
                 1 falls x ∈ ℚ   
f (x) := {                  0 falls x ∈ ℝ\ℚ
Zeigen sie, dass f in keinem Punkt a ∈ ℝ stetig ist  und dass g: ℝ → ℝ mit g(x) := [x] + √( x - [x]) ist stetig auf ℝ.

Comments

Ich brauche hilfe zu aufgabe 30 und 31.

Im skript sind die noch nicht soweit.

Empfehlung video oder seite und am besten eigene erklärung mitgeben ;)

(Ps: für die die es nicht wissen und bestimmt fragen werden^^. Bin im urlaubsemester. Also habe ich keine vorlesung oder ein prof zum fragen. Ich hatte letzzes jahr von moodle die aufgaben gespeeichert aber skript leider nicht. Und jeden semester wird alles zurück gestzt)

Grüße und danke

Immai

Bild:

aus Duplikat:

Ich soll den grenzwert von f: R -> R für f(x)=0 falls x e Q und f(x)=1 falls x e R\Q bestimmen für:

Lim x->x₀  ,x e R f(x) und x e R\Q für x->x₀    f(x)

Mein ansatz ist dass x e R divergiert weil 2 Häufubgswerte und x e R\Q lim =0 . Aber wie schreibe ich das formal korrekt? Bitte um Hilfe !

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Bitte Deinen Dozenten um eine auf Papier gedruckte Version des Skripts!

(Übungen zu einer Vorlesung beziehen sich IMMER auf diese Vorlesung und das beständige Ignorieren dieses Zusammenhangs ist SEHR SINNLOS!

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Ich verstehe nicht was du meinst.

Was tuhe ich denn ständig ignorieren?

Und im urlaubsemester bekomme ich das bestimmt nicht.

Ich hatte mal ein skript gedruckt aber vielleicht benützt der jentzige ein anderes.

Das weiss ich nicht.

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Alternativ frag deinen Prof. noch welche Literatur er empfehlen kann und besorg dir diese.

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Alles klar ;)

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Ansonsten schreib auch immer dabei, was du schon probiert hast bzw. wo genau deine Probleme liegen. Wenn du nur schreibst ich brauch da hilfe ist bestimmt der ein oder andere abgeneigt zu antworten weil man nicht wirklich weiß was du für einen Hintergrund besitzt.

Für die Aufgabe 30 zum Beispiel sollte man schon wissen, dass Q dicht in R liegt. Ist dir das bekannt?

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Achso deswegen verstehen mich mamchmal leute falsch.

Ich hab absolut noch nie mit sowas zutun gehabt.

Deswegen weiss ich nix darüber.

Ich wollte mich ja auch schlau machen.

Was dirlchet funk. Überhaubt ist.

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Du musst dir klar machen, dass hinter diesen Aufgaben ordentlich was an Materie steckt. Hol dir Literatur, jetzt sofort am besten :D.
Aber die Dirichlet-Funktion ist ja in der Aufgabe definiert. Sie ist die Charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und mit ihr kann man zeigen, dass diese eine Lebesgue-Nullmenge sind. Dies wird dir aber alles noch weniger sagen, also hol. dir. Literatur. bitte :)

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Ja das werde ich wohl muessen.

Ich gebe dann bescheid welches ich geholt habe.

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Ich habe nachgefragt und ich werde das holen.

Repetitorium höhere Mathematik und

Von papula - mathematik für Ingenieur

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Das Repetitorium kenn ich persönlich nicht. Den Papula find ich fürs Mathematikstudium eher ungeignet, da stehen ja nicht wirklich Beweise drin. Ich kenn das Buch nur als Nachschlagewerk wie man manche Sachen berechnet, aber Hintergründe und das warum wird da m.E. kaum behandelt (kann aber ja sein, dass dies alles im Repetitiorium abgehandelt wird). Dachte es werden mehr so Standardnamen fallen wie Forster, Königsberger, etc. aber gut wenn der Prof seine Vorlesung anhand dieser Literatur aufbaut, dann wirds wohl Sinn machen.

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Das habe 8ch nicht direkt vom prof.

Sondern von einem mitkommiliton(oder wie auch 8mmer man das schreibt.)

Answer 1

Zu (1)
wähle \( \epsilon=\frac{1}{2} \) und \( \delta>0 \) beliebig. Ist \( a\in \mathbb{Q}  \) wähle \( y\in(a-\delta,a+\delta)\cap \mathbb{R}/\mathbb{Q}\)
dann gilt \( |f(y)-f(a)|=1>\epsilon  \) und gilt \( a\notin \mathbb{Q} \) wähle \( y\in(a-\delta,a+\delta)\cap \mathbb{Q}\).
Auch hier gilt \( |f(y)-f(a)|=1>\epsilon  \). Also ist die Funktion in keinem Punkt stetig.

zu (2)
Wähle \( \delta=\sqrt{\epsilon} \) dann gilt, \( \left|x^2cos\left( \frac{1}{x} \right)-0\right|\le\epsilon \)
Also ist die Funktion stetig in \( x=0 \)
Es gilt \( f'(x)=2\cdot x\cdot cos\left( \frac{1}{x} \right)+sin\left( \frac{1}{x} \right) \)
Weil \( sin\left( \frac{1}{x} \right) \) unstetig ist, ist auch \( f'(x) \) unstetig für \( x\ne 0 \).
Der Wert von \( f'(x) \) an der Stelle \( x=0 \) ergibt sich aus dem Differenzenquotient, also
\( \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2cos\left( \frac{1}{x} \right)}{x-0}=x\cdot cos\left( \frac{1}{x} \right) \) und das ist stetig, wie man durch Wahl von \( \delta=\epsilon \) erkennt.

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion

ist nur ein Anfang. Dann brauchst du das Skript. Schreib dort ab, warum du weisst, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung von a Element Q ein irrationales b gibt. Dann ist |f(a) - f(b)| > 1/2 > 0, was der Stetigkeit in a widerspricht.

Definition von Stetigkeit und Diff'barkeit musst du ebenfalls exakt vor dir haben, um diese Eigenschaften beweisen.

Sprich aber mit deinem Professor, schreib ihm eine E-Mail oder (wenn es dein Rücken zulassen sollte) geh mal mit dem Arztzeugnis in der Sprechstunde vorbei. Es hat keinen Sinn, wenn du da mit andern Definitionen argumentierst als im Skript.

Entweder du hast die Theorie wie im Skript oder du lernst mit einem Buch und machst die Übungen, die dort vorgeschlagen und besprochen werden.

Answer 3

Sei eps=0,5.   Und a aus Q.   Also f(a) = 1

Dann enthält jede Delta-Umgebung von a sowohl rationale als auch irrationale

Zahlen.   Da für alle irrationale Zahlen x  gilt   f(x)=0 , gibt es also

immer welche, für die f(a) - f(x) = 1 > eps ist.

Umgekehrt:  a  aus IR ohne Q .  Entsprechend:

Wieder gibt es in jeder Umgebung von a sowohl rationale als auch

irrationale Zahlen.