Hi,
die allg. Lösung lautet, s. https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/Anl5_d2_09.pdf
$$ u(r,\phi) = c_0 + d_0 \ln(r) + \sum_{k=1}^\infty \left( c_k r^{-k} + d_k r^k \right) \left( a_k \cos( k \phi) + b_k \sin(k \phi) \right) $$
Wegen $$ u(1,\phi) = \cos^2(\phi) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2 \phi) $$
und $$ u(1,\phi) = c_0 + \sum_{k=1}^\infty (c_k +d_k) ( a_k \cos(k\phi) + b_k \sin(k \phi)) $$
folgt \( c_0 = \frac{1}{2} \) sowie \( c_2 + d_2 = \frac{1}{2} \) und \( a_2 = 1 \ \text{ und } b_2 = 0 \), alle anderen Koeffizienten sind Null.
Aus $$ u(2,\phi) = 1 \text{ und } \\ u(2,\phi) = \frac{1}{2} + d_0 \ln(2) + \sum_{k=1}^\infty (c_k 2^{-k} +d_k 2^k) ( a_k \cos(k\phi) + b_k \sin(k \phi)) $$
folgt $$ d_0 = \frac{1}{2 \ln(2)} $$ und $$ \left( \frac{c_2}{4} + 4 d_2 \right) a_2 = \frac{c_2}{4} + 4 d_2 = 0 $$
Also $$ c_2 = -16 d_2 $$
D.h. die Lösung sieht so aus
$$ u(r,\phi) = \frac{1}{2} +\frac{\ln(r)}{2 \ln(2)} +\left( -16 d_2 + d_2 \right) \cos(2\phi) $$ und wegen $$ u(1,\phi) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos(2 \phi) $$ muss gelten $$ -15 d_2 = \frac{1}{2} $$ also $$ d_2 = -\frac{1}{30} $$
Damit ergibt sich die Lösung zu
$$ u(r,\phi) = \frac{1}{2} + \frac{\ln(r)}{2 \ln(2)} + \left( \frac{16}{30} r^{-2} - \frac{1}{30} r^2 \right) \cos(2 \phi) $$
