Löse das Dirichletproblem delta U = 0 in der Kreisscheibe

Question

ich habe ein Dirichletproblem  \triangle u=0 in der Kreisscheibe, das ich lösen muss mit:

\( M = \left\{ (x,y) \epsilon R^{2} | x^{2} + y^{2} \le 1 \right\} \quad \quad \\ \triangle u=0\quad in\quad M\quad und\quad u|_{ \partial M }=x+4y^{ 3 } \)

\( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \)

\( \left.\operatorname{mit} u\right|_{\partial M}=x+4 y^{3} \)

$$ M = \left\{ (x,y)\epsilon R^{ 2 }|x^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\le 1 \right\} $$ mit $$ \triangle u=0\quad in\quad M\quad und\quad u|_{ \partial M }=x+4y^{ 3 } $$

Comments

Ist das richtig ?

Answer 1

Auch hier sollte

https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/anl4netz_d2_11.pdf

helfen.

anl4netz_d2_11.pdf (0,2 MB)

Comments

Hi,

ich beziehe mich wieder auf den Link

https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/anl4netz_d2_11.pdf

Auf Seite 11 ist die Lösung für den Innenraum angegeben mit
$$ u(r,\phi) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{r}{R} \right)^k \left( A_k \cos(k \phi) + B_k \sin(k \phi \right) ) $$
Die Randbedingung transformiert sich in $$ u_0(\phi) = \cos(\phi) + 4\sin^3(\phi) = \cos(\phi) + 3 \sin(\phi) -\sin(3 \phi) $$
Daraus ergibt sich das gilt
$$ A_0 = 0, \ A_1 = 1, \ B_1 = 3, \ B_3 = -1 $$ alle anderen Koeffizienten sind Null.

Also sieht die Lösung wie folgt aus
$$ u(r,\phi) = r \cos(\phi) + 3 r \sin(\phi) - r^3 \sin(3 \phi) $$

Sollte man durch nachrechnen bestätigen.