Mehrdimensionales Integral über Kreisscheibe Bsp. _(D)∫∫ 2(x+1)y d(x,y)

Question

_(D)∫∫ 2(x+1)y d(x,y) 

 

Ich habe Probleme bei Aufgabenteil b) , ich weiß, dass man dafür Poolarkoordinaten benötigt doch komme einfach nicht auf das Ergebnis aus den Lösungen (24π). Eine Schritweise nachvollziehebare Rechnung wäre ideal.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

Answer 1

zu b)

in Polarkoordianten gilt x^2+y^2=r^2

Der Integrant vereinfacht sich also zu (2+3r).

Zusätzlich gilt in Polarkoordinaten d(x,y)=dA=r*dr*dφ

--> ∫∫2+3*√(x^2+y^2)d(x,y)= ∫∫(2+3*r)*r*dr*dφ

Jetzt muss man sich nur noch die Grenzen überlegen. Da über einen Kreis mit Radius 2 integriert wird,gilt

0<=r<=2

0<=φ<=2π

---> ∫∫(2+3*r)*r*dr*dφ= ∫₀^2πdφ∫₀²(2+3*r)*r*dr

=2π*∫₀²(2+3*r)*r*dr=2π*[r^2+r^3]₀²=24π