Mehrdimensionales Integral eines Kreisviertels unter einer Funktion in Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Sei K := {(x, y, z) ∈ R^3: x^2 + y^2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ xy}. Berechnen Sie
das Volumen des Korpers K, einmal ohne Substitution und einmal mit Transformation auf
Zylinderkoordinaten.

Die Berechnung ohne Substitution habe ich durchgeführt und es kam 2 heraus.

Integrationsgrenzen: -2,1 für dx, -sqrt(4-x^2),0 für dy und 0,xy für dz

Bei der Transformation in Polarkoordinaten habe ich x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi) gesetzt. Bei z bin ich mir jedoch nicht sicher, da z ja eine von x und y abhängige Funktion ist.

1. Ist also z=r^2sin(phi)*cos(phi) oder einfach nur z?

Die Integrationsgrenzen sind phi [pi,3/2 pi], r [0,R] und z [?,?].

2. Wie sehen die inegrationsgrenzen für z aus? [0,xy]?

Vielen Dank schonmal! LG, lost

Answer 1

Aloha :)

Wir tasten die Punktmenge$$K=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\big|x^2+y^2\le4\;;\;x\le0\;;\;y\le0\;;\;0\le z\le xy\}$$mit einem Ortsvektor \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten ab:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in(-\infty;\infty)\quad;\quad r\ge0\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$

\(x\le0\) und \(y\le0\) schränken den Polarwinkel ein:\(\quad\pink{\varphi\in\left[\pi\,\big|\,\frac{3\pi}{2}\right]}\)

\(x^2+y^2\le4\implies r^2\le4\) schränkt den Radius ein:\(\quad\pink{r\in[0;2]}\)

\(0\le z\le xy=r^2\sin\varphi\cos\varphi\) schränkt die Höhe ein: \(\quad \pink{z\in[0;r^2\sin\varphi\cos\varphi]}\)

Das Volumenelment in Zylinderkoordinaten lautet: \(\quad\pink{dV=r\,dr\,d\varphi\,dz}\)

Damit können wir das Volumen der Punktmenge \(K\) in Zylinderkoordinaten formulieren:$$V=\int\limits_{r=0}^2\int\limits_{\varphi=\pi}^{3\pi/2}\int\limits_{z=0}^{r^2\sin\varphi\cos\varphi}r\,dz\,d\varphi\,dr$$

Nun musst du zuerst über \(dz\) integrieren, die restliche Reihenfolge ist egal:$$V=\int\limits_{r=0}^2\int\limits_{\varphi=\pi}^{3\pi/2}r^3\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,dr$$

Falls du damit Probleme hast, bitte einfach nochmal melden.

Comments

Vielen Dank, hat perfekt funktioniert :)