Mehrdimensionales Integral: cos(x+y)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie: \( \int\limits_{Q}^{} \) cos(x+y) d(x,y)  für Q := [0, \( \frac{π}{4} \)] x [0, \( \frac{π}{2} \)]

Problem/Ansatz:

Normalerweise löse ich solche Aufgaben, indem ich das Integral für x und y auseinanderziehe. Hier habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich anfangen soll.

Answer 1

Aloha :)

Da die Integrationsgrenzen für \(x\) und für \(y\) nicht voneinander abhängen, kannst du in beliebiger Reihenfolge integrierern:$$I=\int\limits_Q\cos(x+y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^{\pi/4}\int\limits_{y=0}^{\pi/2}\cos(x+y)\,dx\,dy$$ Wir integrieren zuerst über \(dy\) und dann über \(dx\):

$$I=\int\limits_{x=0}^{\pi/4}\left(\,\int\limits_{y=0}^{\pi/2}\cos(x+y)\,dy\right)dx=\int\limits_{x=0}^{\pi/4}\left[\sin(x+y)\right]_{y=0}^{\pi/2}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^{\pi/4}\left(\sin\left(x+\frac\pi2\right)-\sin(x)\right)dx=\int\limits_{x=0}^{\pi/4}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[\sin(x)+\cos(x)\right]_0^{\pi/4}=\sin\frac\pi4+\cos\frac\pi4-\sin0-\cos0=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}-0-1$$$$\phantom{I}=\sqrt2-1$$

Answer 2

Löse das Integral indem du das Integral für x und y auseinanderziehst. Also

        \( \int\limits_{Q} \cos(x+y)\, \mathrm{d}(x,y) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(x+y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\).