Hi,
So, nach langem rechnen jetzt die Lösung.
Im folgenden beziehe ich mich auf diesen Link.
https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/anl4netz_d2_11…
Zuerst wird das Problem entsprechend Seite 5 in zwei separate Probleme getrennt, und zwar so, dass jeweils ein Problem immer auf drei Rändern verschwindene Randwerte hat und nur auf einer Seite Randwerte ungleich Null besitzt.
Außerdem wird eine bilineare Eckenfunktion, s. Seite 6, eingeführt, um die Randbedingungen zu harmonisieren. Das hast Du in Deinem Lösungsansatz auch gemacht.
Für die Eckenfunktion muss gelten u(x,y)=uE(x,y)=a+bx+cy+dxy an allen Ecken.
Anschließend wird das ursprüngliche Problem in ein Problem für die Funktion v(x,y)=u(x,y)−uE(x,y) transformiert.
Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich die Eckenfunktion zu uE(x,y)=x
Mit Hilfe dieser Eckenfunktion müssen die Randbedingungen für die Funktion v(x,y) transformiert werden. Die daraus folgenden einzelnen Probleme ergeben sich damit zu
(1)Δv1=0 mit v1(x,0)=x2−x und v1(x,1)=v1(0,y)=v1(1,y)=0 und
(2)Δv2=0 mit v2(x,1)=x2−x und v2(x,0)=v1(0,y)=v1(1,y)=0
Auf Seite 3 bis 4 wird das Problem (1) gelöst:
Die Lösung ist auf Seite 4, direkt vor dem Beispiel A angegeben mit:
(3)v1(x,y)=k=1∑∞bksinh(Lkπ(y−b))sin(Lkπx) mit
bk=2⋅e−Lkπb−eLkπbβk
βk sind Fourierkoeffizienten der ungerade fortgesetzten Funktion g(x)=x2−x und lauten βk=k3π34[(−1)k−1]
Jetzt muss man nur noch L=b=1 in die Lösung (3) des ersten Problems setzen.
Das zweite Problem wurde in Beispiel A gelöst, allerdings mit einer anderen Randbedingung.
Ersetzt man die im Beispiel angegebene Randbedingung g(x)=−πsin(x) durrch g(x)=x2−x ergibt sich folgende Lösung für das zweite Problem
v2(x,y)=k=1∑∞[k3π3sinh(kπ)4[(−1)k−1]]sinh(kπy)sin(kπx)
Die Gesamtlösung ergibt sich also zu
u(x,y)=uE(x,y)+v1(x,y)+v2(x,y)

