Löse das Dirichletproblem Δu = 0 in M und u|_{θM} = x^2

Question

Aufgaben:

Sei

$$ M=\left \{ (x,y) \in R^{ 2 } \ \big| \ 0 \le x, \ y \le 1 \right \} $$

Löse das Dirichletproblem

$$ \triangle u=0 \quad \text{ in } \quad M\quad und\quad u \big|_{ \partial M }=x^{ 2 } $$

Ich bin nun so weit gekommen, weil ich ein ähnliches Problem im Internet gefunden habe. Aber leider komme ich nicht weiter und weiß auch nicht, ob das so richtig ist:

Das ist das Dokument, dass ich für meinen Ansatz verwendet habe:

Dirichletproblem WS1617_B12_flat.pdf (1,5 MB)

Comments

Vielleicht hilft dieser Link

https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/anl4netz_d2_11.pdf

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Dirichletproblem: \( \Delta u=u_{x x}+u_{y y}=0 \) für \( (x, y) \in M \) mit \( \left.u\right|_{\partial M}= \)
- Homogenisierung der Randbedingungen für \( M=[0, a] \times[0, b] \) :
\( v(x, y)=u(x, y)+a+b x+c y+d x y \) mit \( v(0,0)=v(a, 0)=v(0, b)=v(a, b)=0 \)
- allgemeine Lösung für die Kreisscheibe \( M=\{r \leq R\} \) in Polarkoordinaten \( x=r \cos (\varphi) \), \( y=r \sin (\varphi) \)
\( u(r, \varphi)=a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} r^{n}\left(a_{n} \cos (n \varphi)+b_{n} \sin (n \varphi)\right. \)
- allgemeine Lösung für den Kreisring \( M=\left\{R_{1} \leq r \leq R_{2}\right\} \) in Polarkoordinaten \( x=r \cos (\varphi) \), \( y=r \sin (\varphi) \)
\( u(r, \varphi)=c_{0}+d_{0} \ln (r)+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(c_{n} r^{n}+d_{n} r^{-n}\right)\left(a_{n} \cos (n \varphi)+b_{n} \sin (n \varphi)\right. \)
Koeffizienten jeweils durch Auswerten der Randbedingungen: Entwicklung von \( f \) in Fourierreihe und Koeffizientenvergleich

Das habe ich in einem alten Skript von einem Kollegen gefunden...leider weiß ich immer noch nicht wie man darauf kommt bzw. Wie diese Aufgaben zu lösen sind :'(

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Ich denke man gut nach dem Skript vorgehen, das ich Dir gerade geschickt habe.

Auf Seite 4 ist die allg. Lösung für die Laplacegleichung angegeben, bei auf 3 Seiten die Randbedingung Null ist.

Dann schau auf Seite 6, dort ist die gleiche bilineare Funktion definiert die Du aufgeschrieben hast. Die muss an den Ecken identisch mit der Lösung sein.

Dann musst Du das Problem zerlegen in Teile, bei dem jeweils auf drei Seiten die Randbedingung Null ist. Anschliessend alle Lösungen addieren.

Zusätzlich musst Du noch die Funktion \( x^2 \) in eine Fourierreihe entwickeln.

Das ist zwar noch nicht die Lösung, aber ein Weg dahin.

Answer 1

  Hi,

So, nach langem rechnen jetzt die Lösung.

Im folgenden beziehe ich mich auf diesen Link.

https://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL2/anl4netz_d2_11.pdf

Zuerst wird das Problem entsprechend Seite 5 in zwei separate Probleme getrennt, und zwar so, dass jeweils ein Problem immer auf drei Rändern verschwindene Randwerte hat und nur auf einer Seite Randwerte ungleich Null besitzt.

Außerdem wird eine bilineare Eckenfunktion, s. Seite 6, eingeführt, um die Randbedingungen zu harmonisieren. Das hast Du in Deinem Lösungsansatz auch gemacht.

Für die Eckenfunktion muss gelten \( u(x,y) = u_E(x,y) = a + b x + c y + d x y \) an allen Ecken.

Anschließend wird das ursprüngliche Problem in ein Problem für die Funktion \( v(x,y) = u(x,y) - u_E(x,y) \) transformiert.

Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich die Eckenfunktion zu \( u_E(x,y) = x \)

Mit Hilfe dieser Eckenfunktion müssen die Randbedingungen für die Funktion \( v(x,y) \) transformiert werden. Die daraus folgenden einzelnen Probleme ergeben sich damit zu

$$ (1) \quad \Delta v_1 = 0 \ \text{ mit } \ v_1(x,0) = x^2 - x \ \text{ und } \ v_1(x,1) = v_1(0,y) = v_1(1,y) = 0 $$ und
$$ (2) \quad \Delta v_2 = 0 \ \text{ mit } \ v_2(x,1) = x^2 - x \ \text{ und } \ v_2(x,0) = v_1(0,y) = v_1(1,y) = 0 $$

Auf Seite 3 bis 4 wird das Problem (1) gelöst:

Die Lösung ist auf Seite 4, direkt vor dem Beispiel A angegeben mit:

$$ (3) \quad v_1(x,y) = \sum_{k=1}^\infty b_k \sinh\left( \frac{k \pi}{L} (y - b) \right) \sin\left( \frac{k \pi}{L} x \right) $$ mit
$$ b_k = 2 \cdot \frac{ \beta_k }{ e^{-\frac{k \pi}{L} b } - e^{\frac{k \pi}{L} b} } $$
\( \beta_k \) sind Fourierkoeffizienten der ungerade fortgesetzten Funktion \( g(x) = x^2 - x \) und lauten \( \beta_k = \frac{4 [ (-1)^k -1 ]}{k^3 \pi^3} \)
Jetzt muss man nur noch \( L = b = 1 \) in die Lösung (3) des ersten Problems setzen.

Das zweite Problem wurde in Beispiel A gelöst, allerdings mit einer anderen Randbedingung.

Ersetzt man die im Beispiel angegebene Randbedingung \( g(x) = -\pi \sin(x) \) durrch \( g(x) = x^2 - x \) ergibt sich folgende Lösung für das zweite Problem
$$ v_2(x,y) = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{ 4 \left[ (-1)^k - 1 \right]}{k^3 \pi^3 \sinh( k \pi)} \right] \sinh( k \pi y) \sin( k \pi x) $$

Die Gesamtlösung ergibt sich also zu
$$ u(x,y) = u_E(x,y) + v_1(x,y) + v_2(x,y) $$