Vektorraum Endomorphismen

Question

Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und Φ und Ψ zwei Endomorphismen von V
mit Φ^2= Φ, Ψ^2 = Ψ und ΦΨ = ΨΦ.

a)Zeigen Sie, dass Kern(Φ) und Bild(Φ) Ψ-invariant sind, d. h. dass ΨKern(Φ)⊆ Kern(Φ)und ΨBild(Φ)⊆ Bild(Φ).

b)Geben Sie ein Beispiel für einen Vektorraum  V über einem Körper K und zwei solcheEndomorphismen Φ und Ψ von V an, so dass Vi,j ≠ 0 für alle  i, j ∈ {0, 1}.

Kann jmd. mir paar Tipps zu dieser Aufgabe geben?

MfG

Answer 1

Zeigen Sie, dass Kern(Φ) und Bild(Φ) Ψ-invariant sind, d. h. dass ΨKern(Φ)⊆ Kern(Φ)und ΨBild(Φ)⊆ Bild(Φ).

Zu:  ΨKern(Φ)⊆ Kern(Φ) geht es wohl so:

 Sei y ∈ ΨKern(Φ)

==>  ∃x∈Kern(Φ) mit Ψ(x) = y   und  Φ(x)=0 

==>    Φ(Ψ(x)) = Φ(y)     also wegen  ΦΨ = ΨΦ auch

 ==>         Ψ(Φ(x)) = Φ(y)   und wegen  Φ(x)=0 

==>    Ψ(0) = Φ(y)  

==>     0 =  Φ(y)    also   y ∈ Kern(Φ).

Damit ist gezeigt   ΨKern(Φ)⊆ Kern(Φ).

Die andere Inklusion geht wohl entsprechend.