z = (1 + e^{j * t}) / (j * t) Imaginärteil

Question

Gesucht ist der Imaginärteil von

z = (1 + e^{j * t}) / (j * t)

wobei t eine konstante reelle Zahl ist.

Ich habe erst daran gedacht, dass ich in die eulersche Form umforme aber da ich keinen Realteil unter dem Bruchstrich habe, bin ich etwas verunsichert. ist es arccos(0 / t) = 90°?

Ist die umgeschriebene Formel: 1 + t * e ^ (j * t * - 90°)

Bin ich auf dem richtigen Weg? Wie geht' s weiter?

 

Comments

Ist die Umformung

1 + t * cos(t - 90°) + t * sin(t - 90°) 

korrekt?

Answer 1

Meine Berechnung:

e^{it}= cos(t) + i sin(t)

------>

z= (1 +cos(t) + i sin(t) )/(it) |*i/i

z=  ( i + i cos(t) - sin(t)/(-t)

z=  ( i + i cos(t))/ (-t)  +sin(t)/t

z=  (- i - i cos(t))/ (t)  +sin(t)/t

z=  sin(t)/t  +i (-1 -cos(t))/t)

--------->

Im(z)=( -1 -cos(t))/t)

Comments

Leider kann ich schon die ersten beiden Zeilen nach dem -----> Pfeil nicht nachvollziehen.

wo ist das i von sin()? Warum ist es auf einmal ein -sin() und nicht wie vorher +sin()? Woher kommt das -t?

Wenn du in der dritten Zeile den Nenner auseinander ziehst warum ist es dann kein -t mehr?

Leider komm ich mit dieser Rechnung nicht zurecht.

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Erste Zeile nach dem Pfeil:

Hier wurde einfach nur eingesetzt.  

Danach möchte er das i aus dem Zähler bekommen.

Deswegen multipliziert er mit i/i.  (Da i*i = - 1)

Hier würde auch die allgemeine Methode mit dem komplex konjugierten funktionieren.  

Oder wir wenden (im Prinzip ist dies genau das,  was aus dem oberen folgt) an,  dass gilt 1/i = - i und multiplizieren dann aus 

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Vielen Dank, durch deine Erklärung habe ich es jetzt verstanden.