Bestimmen die die Abbildungsmatric von D .

Question

Wie bestimmt man die Abbildungsmatrix von D? Ich habe schon mehere Lösungsansätze versucht bin bisher aber auf keine Lösung gekommen.Kann mir einer helfen ?

Answer 1

Wenn die Basen in beiden Räumen vorgegeben sind

(Das ist hier der Fall  1 , x , x² , x³ , .... , xⁿ  ) Dann gilt:

In der 1. Spalte von D stehen die Koeffizienten, die man zur Darstellung

des Bildes des 1. Basisvektors braucht.

Also Bild vom ersten ist die Ableitung der Konstanten 1, also 0.

Damit besteht die erste Spalte der Matrix aus n NUllen.

2. Basis"vektor" ist das Polynom x. Ableitung ist 1 , also ist die

Darstellung des Bildes

1*1 + 0*x + 0*x² + .....+ 0*xⁿ

Also steht in der 2. Spalte oben eine 1 und darunter n-1 Nullen.

3. Basisvektor ist  x²  Ableitung davon  2x  .  Da´rstellung

0*1 + 2*x + 0*x² + .....+ 0*xⁿ   

Beim nächsten gibt es dann

0*1 + 0*x + 3*x² + .....+ 0*xⁿ     etc. Matrix also


0     1     0    0   0   ...................  0
0     0     2    0   0    ....................0
0     0     0    3   0    ................... 0
...................................................
...................................................
0    0     0    .................      n-1    0

Der Kern sind also alle konstanten Polynome

und das Bild alle von Grad ≤ n-1 .