Ist die Abbildung linear? Polynome F(ax^3 +bx^2 +cx+d)=ax^2 +2bx+c

Question

folgende Frage:

Sei Pn der Vektorraum der Polynome vom Grad n. Wir definieren die Abbildung F : P3 → P2             über

F(ax^3 +bx^2 +cx+d)=ax^2 +2bx+c ,

woei a,b,c,d ∈ R.

(a) Ist F linear? Beweisen Sie Ihre Aussage.
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F bezüglich der Standardbasen. 

(c) Was ist die Dimension des Bildes und des Kerns von F ?
(d) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns. 

Comments

Da es ein b) gibt, muss die Antwort zu a) " ja"  sein.

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soweit habe ich das auch verstanden. Wie beweise ich dass es linear ist?

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Ich bin da immer unsicher. Aber ist es nicht eigentlich schon ein Beweis wenn du b) machst.

Wenn du b) machst und eine allgemeingültige Matrix F findest ist das doch eigentlich beweis genug.

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Ja F ist linear wenn du die Variablen auf eine Seite machst dann siehst du es auch

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Ich nehme an, dass der Erfinder der Frage davon ausgeht, dass du bei a) die definierenden Eigenschaften von "linear" nachprüfst.

Theoretisch ist aber eine Antwort auf b) Beweis genug, wenn schon irgendwo im Skript bewiesen.

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Wie zeige ich denn die Eigenschaften von "linear" an einem Polynom? Woran sehe ich die Linearität wenn ich die Variablen auf einer Seite habe?

Answer 1

Für "linear":

Wähle zwei Polynome etwa p=ax^3 +bx^2 +cx+d  und  q = ex^3 +fx^2 +gx+hBilde F( p+q) und vergleiche  mit F(p) + F(q)  und siehe:  beides gleich.Ebenso, wenn k aus IR ist, dann ist

F(k*p) = k*F(p)  (einfach nachrechnen.1   0    0    0
0   2    0    0
0   0     1    0     ist die Matrix.


Die hat rang=3, also dim (Bild) = 3 und wegen dim(Kern) =  4 - dim(Bild) =  1 ist der Kern 1-dim. und hat als Basis z.B. das konstante Polynom  1.


denn F(1) = 0-Polynom.

Comments

Wie kommst du auf die darstellende Matrix? Diese muss man mit den Standardbasen bestimmen.

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Das hat wieder mal der Editor etwas versaut. Es ist :

1   0    0    0
0   2    0    0
0   0     1    0    


Genau, mit der Stand.basis, die ist 

bei P3    x³      ,  x² ,  x    ,  1 und bei P2     x² ,  x    ,  1 


Dann berechne das Bild jedes Basisvektorsalso F(   x³       )   =    x²   =    1* x²  +0*x + 0*1und die Spalte  1  0   0    ist also die erste

Spalte der Matrix. 

Dann    F(   x²       )  =  x =    0* x²  +2*x + 0*1


etc.