Untersuchen Sie für jede der nachfolgenden Relationen, ob diese reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv ist.

Question

Aufgabe (reflexiv, symmetrisch, transitiv; Lernziele: mathem. arg.)

Untersuchen Sie für jede der nachfolgenden Relationen, ob diese reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv ist. (Hinweis: Sie müssen einen Nachweis für die vorhandenen bzw. nicht vorhandenen Eigenschaften der jeweiligen Relation geben.)

(a) Sei \( R \) die folgende Relation auf \( \mathbb{R}: x R y: \Longleftrightarrow x=|y| \)

(b) Sei \( R \) die folgende Relation auf \( \mathbb{N}: x R y: \Longleftrightarrow x \) teilt \( y \) (mit Ergebnis in \( \mathbb{Z} \) )

(c) Sei \( R \) die folgende Relation auf \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) : Es gilt \( (x, y) R(z, w) \) genau dann, wenn es eine Gerade in der Koordinaten-Ebene durch die Punkte \( (x, y) \) und \( (z, w) \) mit ganzzahliger Steigung gibt.

(d) Sei \( P \) die Menge aller Personen und \( R \) die folgende Relation auf \( P \) : Für zwei Personen \( x \) und \( y \) gilt \( x R y \) genau dann, wenn \( y \) nicht in derselben Stadt wie \( x \) geboren wurde.

Answer 1

a) reflexiv, weil für jedes x ∈ IR gilt   x = |x|

symmetrisch nicht   ;  denn   x = |y| hat nicht unbedingt zur Folge y = |x|
            Gegenbeispiel   2 = | -2 | aber nicht  -2 = | 2 |

transitiv ja; denn  wenn  x = |y| und y = |z| 

dann ist ja jedenfalls y nicht negativ ( wegen   y = |z| )

 also  |y| = y und damit   x = |y| = y = |z| , also

x = | z | .

Versuche mal die anderen so ähnlich .