Die Funktionsgleichung eines kubischen Polynoms

Question

Ich bräuchte da mal eure Hilfe bei einer Aufgabe: Die Funktionsgleichung eines kubischen Polynoms f(x) = ax3 + bx2 + cx + d soll bestimmt wer- den. Dazu ermittle man die Konstanten a, b, c und d dass f die folgenden Eigenschaften hat: f hat bei x = 0 eine Nullstelle, die gleichzeitig eine Wendestelle ist. Ein relatives Extremum liegt bei x = -2. Die Kurventangente an der Stelle x = 4 hat die Steigung 3.

Nun könnte man die polynomfunktion die zweite und dritte ableitung machen und und so dann durch probieren die tangentengleichung zu finden oder über den wendepunkt. Nun denke ich gibt es sicher eine elegantere lösung als einfach durch probieren der gleichung an die lösung zu kommen. Könnt ihr mir hier ein paar tipps geben? Wie packt man eine solche aufgabe an. Vielen Dank

Comments

Nun denke ich, gibt es sicher eine elegantere Lösung.

Davon kannst du ausgehen.

Answer 1

Die Angaben in Kurzschreibweise

f ( 0 ) = 0 ( Nullpunkt im Ursprung )
f `` ( 0 ) = 0 ( Wendepunkt )
f ' ( -2 ) = 0 ( Extrempunkt )
f ´ ( 4 ) = 3 ( Steigung )

f ( x ) *= a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) =  a * 0^3 + b * 0^2 + c * 0 + d = 0
d = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b
f ´´ ( 0 ) = 6 * a * 0 + 2 * b = 0
b = 0

f ( x ) = a * x^3 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 +  c

f ´( -2 ) = 3 * a * (-2)^2  + c = 0
f ´( 4 ) = 3 * a * (4)^2  + c = 3

3 * a * (-2)^2  + c = 0
3 * a * (4)^2  + c = 3

12 * a  + c = 0
48 * a  + c = 3

c = -12 * a

48 * a + ( -12 * a ) = 3
a = 1 / 12

12 * 1 / 12   + c = 0
c = -1

f ( x ) = 1 /12 * x^3 - x

Die Lösung wurde überprüft.

Answer 2

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

hat bei x = 0 eine Nullstelle, die gleichzeitig eine Wendestelle ist. Ein relatives Extremum liegt bei x = -2. Die Kurventangente an der Stelle x = 4 hat die Steigung 3. 

I ) d=0

II) 2b=0

III) 0=12a-4b+c

IV) f'(4)=3 (-> in die 1.Ableitung f'(x) s.o. einsetzen)

Entweder mit LGS lösen oder Gauß Verfahren anwenden.

(Keine Gewähr auf 100% korrekte Antwort)

Comments

Das Ganze nennt sich Rekonstruktion von Funktionen (Steckbriefaufgaben).

Answer 3

Was musst du probieren?

fo(x):=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0

gegeben

{  fo(0)=0 , fo'(0)=0, fo'(2)=0 , fo'(4)=3    }

{a0 = 0, a1 = 0, a1 + 4 * a2 + 12 * a3 = 0, a1 + 8 * a2 + 48 * a3 = 3}

f(x):=1 / 8 * x^3 - 3 / 8 * x^2

Comments

Hallo wächter,

fo(0)=0 , fo'(0)=0, fo'(2)=0 , fo'(4)=3

Fehlerhinweise

fo(0)=0 , fo'´(0)=0, fo'(-2)=0 , fo'(4)=3

mfg