Konvergiert diese komplexe Reihe?

Question

Hallo. Ich bin gerade an Aufgabe B35, e)

Allerdings komme ich schlecht mit den komplexen Zahlen zurecht und weiß nicht mit welchem Kriterium ich hier eine Konvergenz beziehungsweise Divergenz zeigen soll.

Wäre für einen Ansatz dankbar ;)

Hier nochmal die Reihe aufgeschrieben : Summe n=1 bis n (1 + i*sqrt(2))^m) * ((m-1/m)^{m^2})

LG Tim

Answer 1

e) Nach https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

ja, Σ (1 + i*sqrt(2))^m*((m-1)/m)^{m²},m=1...∞

 konvergiert. {Du hattest bei m-1 die Klammer vergessen}

Der genaue komplexe Wert ist aber nicht einfach!

Also erst mal die ersten 100 Terme:

=-0.21285303248032595... + 0.104831394696819... i

Der Rest kann mit der Approximation für große x bestimmt werden:

(1 + i*sqrt(2))^x*exp(-x - 1/2 - 1/(3 x) - 1/(4 x^2)-1/(5 x^3)-1/(6 x^4)-1/(7 x^5))

da kommt also nur was an der 20. Nachkommastelle hinzu...

Lösungs-Weg 2: Aufspaltung in 2 Summen:

(1 + i sqrt(2))^x = 3^{x/2} cos(x*atan(sqrt(2))) + i*3^{x/2} sin(x*atan(sqrt(2)))

Realteil:

∑ 3^{m/2} cos(m*atan(sqrt(2)))*((m-1)/m)^{m^2},m=1...∞

=-0.21285303248032595...

...

Comments

Konvergiert für x gegen unendlich richtig ? Weil das habe ich auch rausbekommen. Habe das ganze mit dem wurzelkriterium gemacht was am Ende zu eine Aussage über den Grenzwert zuließ. Da der zweite Teil der Reihe gegen null läuft und der erste gegen 1.

Macht dann in der Summe unendlich.

Nur wie man jetzt auf diese Zahlen kommt die du da angibst, das versteht ich leider nicht. Ist das der Konvergenzradius ?

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Nein - nicht Konvergenzradius, sondern ich habe nach dem Beweis 2 Lösungswege aufgezeigt, wie man diese unendliche Summe relativ genau berechnen kann

(wenn sie nicht konvergieren würde, bracht man sich ja nicht die Mühe des Rechnens machen):

a) Ersten 100 Terne kann man mit Programme wie WolframAlpha leicht berechnen

Das Restglied (101 bis unendlich) könnte ja gegen unendlich streben -> deshalb eine Näherungsformel, die "nach hinten/oben" immer genauer wird -> und nur noch hintere Nachkommastellen beeinflusst.

Kann weggelassen werden, wenn Genauigkeit von 15 Stellen ausreicht.

b) Aufteilung in eine Realteil-Summe

und imaginärteil-Summe, wo man den Faktor i = Wurzel(-1) vor das Summenzeichen verschieben kann -> selbe Ergebnis