Untersuchen, ob diese Reihe konvergiert? Summe von (4^n-n^2)/((2^n + 1)(2^n-1))

Question

kann jemand mir helfen? ich habe problem mit dieser Aufgabe, da ich Das Quotientenkriterium nicht verstehe.

EDIT(Lu): Zitat aus Kommentar:

also welche kriterium soll ich benutzen zum Untersuchen ob diese Reihe konvergiert? 

Comments

Wer behauptet, dass diese Reihe konvergiert?

Suche z.B. eine divergente Minorante.

EDIT: Überschrift und Frage angepasst gemäss Kommentaren.

---

ich habe die falsche Beispiel gegeben

---

also welche kriterium soll ich benutzen zum Untersuchen ob diese Reihe konvergiert?

Answer 1

(4^n-n^2)/((2^n + 1)(2^n-1)) 

= (4^n-n^2)/ (4^n-1)

> (4^n - n^2)/(4^n)

= 1-   n^2/(4^n)  | sobald 2n^2 < 4^n  

> 1 - 1/2 = 1/2

Das ist eine divergente Minorante für die gegebene Reihe, dann

∑_(n=0)^{unendlich} 1/2 = 1/2+1/2+1/2+... unendlich viele Summanden = unendlich

==> Die angegebene Reihe divergiert.

Comments

Ist die Ungleichung nicht umgekehrt?

---

Richtig. Danke.

Ich darf da nicht so grob abschätzen. Wird oben noch bearbeitet.

---

Vielleicht sollte man einfach damit argumentieren, dass die Summanden keine Nullfolge bilden.

---

Richtig. Das ist die einfachere Art, das zu formulieren.

Sollte nun oben aber stimmen (?)

---

hallo
wie kommst du auf 2n^2 es müsste doch nur n^2sein dann kommt bei mir als ergebnis 1-n^2/4^n < 3/4 raus?

was sagt mir das dann ?konvergiert oder divergiert die reihe?wie geht es weiter?

---

Ich will ja nicht auf 0 runterkommen.

Daher a

"sobald 2n² < 4ⁿ   "

==> n^2/4^n < 1/2

---

Idee: Grenzwert der Summanden ist ja 1. Daher:

Ab irgendeiner Stelle sind alle Summanden grösser als eine feste positive Zahl. Hier habe ich eine Abschätzung mit 1/2 hinbekommen. ==> Minorantenkriterium,

Grenzwert der Summanden ist nicht 0 heisst immer, dass die Reihe divergiert. (Wie der Gast korrekt bemerkt hat)  Wenn ihr das irgendwo im Theorieheft habt, brauchst du meine Abschätzung gar nicht.