Für welche x∈R konvergiert diese Reihe. Quotientenkriterium Sonderfall

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie für welche x∈R die Reihe konvergiert. Verwenden sie (*):

1. \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n}} \)

2. \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{3^{n} - 2^{n}}} \)

(*) Quotienkriterium Sonderfall:

Existiert L = |\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \)| so bedeutet

1. für L < 1 konvergenz

2. für L > 1 divergenz

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe dringend Hilfe, da ich sie leider nicht hinbekomme zu lösen. Vielen Dank!

Answer 1

Wenn das mit dem L so stimmt (oder fehlt da was mit Grenzwert ?)

Dann bei 1 berechne L = \( |\frac{a_{n+1}}{a_n} |=  |\frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^{n}}{n}} | \)

\(=|\frac{nx^{n+1}}{(n+1)x^n}|=|\frac{nx}{n+1}|=\frac{n|x|}{n+1}\)

Ist also für |x|<1 sicherlich kleiner als 1, also konvergiert die

Reihe jedenfalls für |x|<1 .

Allerdings würde L<1  ja auch für x=1 gelten und da konvergiert die Reihe

sicher nicht (harmonische Reihe.)

Wenn es allerdings heißt: L = \( \lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n} |\),

dann gibt es ja L=|x| und dann macht es mehr Sinn.

Comments

Du hast natürlich recht, mein Fehler. Vielen dank für die Hilfe!