Anfangswertproblem von Matrizen x' = A*x

Question

wir sollen das Anfangswertproblem zu folgender Matrix lösen:

x' = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}*x 

zu x(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}  Zuerst haben wir die Eigenwerte bestimmt: λ₁=0 und λ_2,3=1

Dazu die jeweiligen Eigenvektoren: $$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $$

Nun das Fundamentalsystem berechnet:

x(t) = C1*$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$*e^(0+t)  + C2*$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$*e^1*t + C3*$$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$*e

Und dann die Cs ausgerechnet für x(0)=$$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Somit ist C1=2, C2=-1 und C3=1

Ist das so alles richtig und sind wir jetzt fertig?

Keine Ahnung, warum sich das alles so versetzt, tut mir Leid!

Oder müssen wir anders vorgehen?
Danke für jegliche Hilfe!

Comments

"das Anfangswertproblem "

Wie lautet die DGL genau? 

EDIT: Erledigt. 

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Sorry vergessen, habs jetzt verbessert

Answer 1

Hi,
Du kannst auch mit der Matrixexponentialfunktion das Problem lösen.
Eine Dgl. der Form
$$ y'(x) = A y(x) +b(x) \text{ mit } y(x_0) = y_0  $$ hat die Lösung
$$ y(x) = e^{A(x-x_0)} y_0 + \int_{x_0}^x e^{A(x-s)} b(s) ds  $$
Mit den Eigenwerten und Eigenvektoren kannst Du die Matrix \( A \) diagonalisieren und dann leicht \( e^A \) ausrechnen. Für die Funktion \( b(s) \) gilt, \( b(s) = 0 \) Es ergibt sich
$$  y(x) = e^{Ax} y_0 = \begin{pmatrix} 4 - 4e^t \\ -e^t(2t-1) \\ 4-2e^t \end{pmatrix}  $$