[Frage] geometrische Folge

Question

An folgender Aufgabe beiße ich mir im Moment die Zähne=- aus. Dabei vermute ich, dass sie trivial ist ... leider nicht für mich:

"Bestimme a_n wenn folgende Werte vorliegen: a₃=36 und a₈=-273,375" ... Die mir vorgegebene Lösung lautet "a_n=16*(-1,5)^n-1"

Bei dem Lösungsansatz bin ich wie folgt vorgegangen:

36=a₁*q^3-1 und -273,375=a₁*q^8-1

a₁=36/q² und a₁=-273,375/q⁷

36/q² =-273,375/q⁷ | /36 | *q⁷

q⁷/q²=-273,375/36

q⁵=-7,5938 (oder -243/32)
ab hier hänge ich und möchte um Hilfe bitten. Vielen Dank dafür.

Answer 1

(1)   36=a₀·q³

(2) -273,375=a₀·q⁸

(2)/(1) -7,59375=q⁵ und dann q=-1,5

q in (1) 36=a₀·(-1,5⁾³ oder a₀=-(10+2/3)= -32/3

Ergebnis a_n=-32/3·(-1,5)ⁿ.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.

2 Dinge verstehe ich noch nicht:

1. Wie kann aus q⁵=-7,59375 der Wert q=-1,5 hervorgehen? Ich darf doch aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen.

2. Laut Vorgabe des Dozenten soll die Lösung "a_n=16*(-1,5)^n-1" lauten.

Wärst du bitte noch mal so nett und würdest mir dazu etwas sagen?

---

Zu1. Nur grade Wurzeln aus negativen Zahlen existiern in ℝ  nicht. Ungerade schon. (-1)³=-1 dritte Wurzel aus -1 ist -1.

Zu 2. -32/3·(-1,5)ⁿ= -32/3·(-3/2)·(-1,5)^n-1=16·(-1,5)^n-1.

---

Jetzt geht es dann erstmal wieder zurück ins Eigenstudium.