Abbruchbedingung, geometrische Verteilung

Question

Aufgabe:

Das Spiel wird solange wiederholt bis eine Abbruchbedingung eintritt.

Für die folgenden Spiele soll jeweils folgendes bestimmt werden:
• wie viele Runden das Spiel im Erwartungswert geht
• die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel über genau n Runden geht.

Gib benutzte Zufallsvariablen an.

(a) Würfeln bis geworfene Zahl durch 3 teilbar ist
(b) Würfeln bis Summe der geworfenen Zahlen durch 3 teilbar ist
(c) Würfeln bis zum zweiten Mal eine 6 fällt (muss nicht direkt hintereinander sein)
(d) Würfeln bis zweimal hintereinander die gleiche Zahl fällt (n ≥ 2)

Problem/Ansatz:

(a)

2/6 eine Zahl zu würfeln die durch 3 teilbar ist (3 und 6).

Erwartungswert = 1/p = 1/2/6 = 3

Wahrscheinlichkeit eine solche Zahl in n Runden zu würfeln = f(3) = (1-2/6)^3-1 * 2/6 = 4/27 = 0,148 = 14,8%

(b)

3/6 eine Zahl zu würfeln die durch 3 teilbar ist (1+2, 2+4, 1+5).

Erwartungswert = 1/p = 1/3/6 = 2

Wahrscheinlichkeit eine solche Zahl in n Runden zu würfeln = f(2) = (1-3/6)^2-1 * 3/6 = 1/4 = 0,25 = 25%

(c)

1/36 zwei Sechsen zu würfeln (1/6 * 1/6).

Erwartungswert = 1/p = 1/1/36 = 36

Wahrscheinlichkeit eine solche Zahl in n Runden zu würfeln = f(36) = (1-1/36)^36-1 * 1/36 = 0,01 = 1%

(d)

Hier wäre es doch an sich das gleiche wie bei (c) oder nicht?

Das wäre mein Ansatz zu der Aufgabe. Würde es sehr schätzen, falls jemand drüberschauen und mich eventuell korrigieren könnte.

Answer 1

Es fehlen die Angaben, was du mit welchem Buchstaben bezeichnest. Zudem fehlen ein paar Wörter sowie Festlegungen für die Abkürzungenin der Fragestellung.

So wie oben sieht das nicht wie auf Deutsch formuliert aus.

Dein Rechenweg: Ergänzt mit ein paar vermuteten Buchstaben

Annahme (a) , (b) usw sind die Abbruchbedingungen.Problem/Ansatz:

(a)

Wahrscheinlichkeit p= 2/6 eine Zahl zu würfeln die durch 3 teilbar ist (3 und 6).

Erwartungswert E(n) = 1/p = 1/(2/6) = 3

Ist das eine Formel, die du kennst?

Du interpretierst: "in n Runden" als "in der dritten Runde" ?

Könnte gemeint sein "bis und mit der dritten Runde"?

Fehlt eine Klammer?

Wahrscheinlichkeit eine solche Zahl in n Runden zu würfeln = f(3) = (1-2/6)^3-1 * 2/6 = 4/27 = 0,148 = 14,8%

Comments

Achtung: Ich habe schlicht versucht deinen Antwortversuch etwas auseinanderzunehmen und zu interpretieren.

D.h. sollte ein Zitat von deiner Darstellung zu (a) sein.

Also nicht ein Antwortversuch von mir, da mir die Fragestellung zu wenig präzis ist. Und du ja Eigenleistung vorlegst.

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(b) Im ersten Wurf ist noch keine Summe vorhanden. Zumindest scheinst du die Annahme zu treffen, dass nur ein Würfel auf einmal geworfen wird. Richtig?

Anfänge sind 1,2,3,4,5,6 denkbar.

Danach kann es überall mit 12,3,4,5,6 weitergehen

Dann ist die Summe 2,3,4,5,6,7,8,...oder 12.

Die einzelnen Summen haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

Addiere die Wahrscheinlichkeiten, dass die Summe durch 3 teilbar ist.

Dann wäre das in 2 Versuchen eingetreten.

usw.

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Erwartungswert E(n) = 1/p = 1/(2/6) = 3

Ist das eine Formel, die du kennst?

Die von mir benutzte Formel habe ich in einem Video gefunden, schien mir recht simpel doch vielleicht ist sie nicht ganz richtig. Eigentlich hatte ich gelernt, dass der Erwartungswert durch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeit und Zufallsvariable berechnet wird. Auf (a) angewandt wäre das:

E(X) = \( \frac{2}{6} \) * (1+2+3+4+5+6) = 7

Du interpretierst: "in n Runden" als "in der dritten Runde" ?

Könnte gemeint sein "bis und mit der dritten Runde"?

Da dachte ich mir, dass ich gleich den Erwartungswert als n einbauen könnte, weil ich sonst nicht wüsste, wie ich sonst die Wahrscheinlichkeit von einer unbekannten Anzahl (n) an Runden darstellen kann.

(b) Im ersten Wurf ist noch keine Summe vorhanden.

Den Fehler hab ich auch schon bemerkt, haha. Habe mir nun eine Tabelle angelegt mit allen möglichen Kombinationen (36). 12 von diesen 36 Summen sind durch 3 teilbar, sprich \( \frac{1}{3} \).

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(a) Musst du dir nochmals überlegen. Nicht alle Abbruchzeiten sind gleich wahrscheinlich. Und warum sollte die Abbruchzeit 7 nicht überschritten werden können?

Dürfte eher auf eine geometrische Reihe rauslaufen.

Damit lässt sich dann (vielleicht?) die Formel im Video begründen.

Weiterführend (oder zu weit) für das, was ihr lernen solltet: https://de.wikipedia.org/wiki/Stoppzeit#Definition ?

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Ich hab mich nochmal schlau gemacht und die erste Formel zum Erwartungswert (\( \frac{1}{p} \) ) ist richtig, weil es tatsächlich eine geometrische Reihe ist.

Stoppzeit hatten wir kurz (wirklich sehr kurz) angesprochen, jedoch nichts detailiertes wie Berechnung beispielsweise.

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Freut mich zu lesen. Bist du denn nun ganz durch mit der Frage und ist die Fragestellung inzwischen nahe genug an der ursprünglichen Fragestellung?