Aufgabe:
In einer Autowerkstatt ist bekannt, dass 20% der Fahrzeuge, die in die Werkstatt kommen, einen Motorschaden haben. Bezeichne X die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge ohne Motorschaden bis zum ersten Fahrzeug mit Motorschaden.
a.)Wie und mit welchen Parametern ist die Zufallsvariable X verteilt?
b.)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das 5. vorbeigebrachte Fahrzeug das erste Fahrzeug ist, das einen Motorschaden hat?
c.)Berechnen und interpretieren Sie den Erwartungswert von X.
d.)Die erwartete Zeit zwischen dem Ankommen zweier Fahrzeuge mit Motorschaden beträgt 3 Tage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter in der Autowerkstatt länger als 80 Stunden auf ein Fahrzeug mit Motorschaden wartet?
Problem/Ansatz:
Kann jemand mal drüber schaun ob das stimmt ? besonders bei d.)
a.) $$X \sim geom(p)$$
$$p=0.2$$
b.)$$P(X=5) = p \cdot q^{5-1} = 8.192%$$
c.) $$E(X) = \frac{1}{p} = 5$$
Was soll man da sagen, außer das das 5. Auto die höchste Wahrscheinlichkeit hat, dadurch wird ein Treffer beim 5. Auto erwartet.
d.) $$T \sim Exp(\lambda)$$
$$E(T) = \frac{1}{\lambda} = 8$$
$$\lambda = \frac{1}{8}$$
$$P(T>80) = 1-P(T\leq80)=1-F(80) = 1-(1-e^{-\frac{1}{8} \cdot 80}) = e^{-10}$$
