Aufgabe:
Ein Nachtwächter hat einen Schlüsselbund mit 10 ähnlich aussehenden Schlüsseln. Wenn er eine bestimmte Tür aufschließen will, in deren Schloss genau einer der 10 Schlüssel passt, so probiert er entweder die Schlüssel nacheinander durch - d.h. kein Schlüssel wird zweimal ausprobiert - bis er den passenden findet (Methode A oder er probiert einen zufällig ausgewählten Schlissel, und wenn er nicht passt, so schüttelt er den Schlüsselbund und probiert wieder einen zufällig ausgewählten Schlüssel (Methode B).
a) Die Zufallsvariable \( X_{A} \) bzw. \( X_{B} \) sei die Anzahl der Versuche, die nach Methode A bzw. B nötig sind, um den passenden Schlüssel zu finden. Geben Sie die Verteilungen dieser beiden Zufallsgrößen an.
b) Der Nachtwächter benutzt Methode A, wenn er nüchtern ist, und Methode B, wenn er betrunken ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafür, dass er in einer bestimmten Nacht betrunken ist, betrage \( \frac{1}{3} \). Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Betriebsleiter den Nachtwächter der Trunkenheit im Dienst zu Recht bezichtigt, nachdem er gesehen hat, dass dieser schon 8-mal erfolglos versucht hat, die Tür zu öffnen?
Ansatz Aufgabe b:
\( P(B | E)=\frac{P(E | B) * P(B)}{P(E | B)^{*} P(B)+P(E | A) * P(A)}=\frac{0,9^{8 *} \frac{1}{3}}{0,9^{8} * \frac{1}{3}+0,2 * \frac{2}{3}}=0,52 \)
Stimmt das so? Woher weiß ich, dass P(E|B) = 0,9^8?
