Bestimmen der Tangente rein algebraisch

Question

Hallo

Bestimme die Tangente an den Graphen f(x)=x² in ξ=1 rein algebraisch! Hinweis in diesen Fall hat die Tangente nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen von g!

Ich hätte jetzt den Differenzenquotient folgendes d(x,ξ)=(f(x)-f(ξ))/(x-ξ) ist dann eingesetzt x+1 Stimmt das bis jetzt? und wie mache ich weiter? und muss ich diesen Hinweis beweisen?

Answer 1

> Differenzenquotient folgendes d(x,ξ)=(f(x)-f(ξ))/(x-ξ)

Und dann den Grenzwert für x→ξ bestimmen und du hast die Steigung der Tangente bei ξ.

> rein algebraisch

Gemeint ist ohne Grenzwerte. Dein Ansatz ist also nicht der gewünschte.

Gleichung der Tangente ist

        t(x) = mx + n.

Außerdem ist t(1) = f(1), also m·1 + n = 1 und somit n = 1-m. Einsetzen in t liefert

        t(x) = mx + 1 - m

Weil f und t nur einen Punkt gemeinsam haben, hat die Gleichung t(x) = f(x) nur eine einzige Lösung. Somit hat die Gleichung

        mx + 1 - m = x²

nur eine einziege Lösung. In Normalform lautet diese Gleichung

        x² -mx + (m-1).

Mittels pq-Formel bekommt man die Lösungen

        x = m/2 ± √(m²/4 - (m-1)).

Diese zwei Lösungen reduzieren sich zu einer Lösung, wenn

        m²/4 - (m-1) = 0

ist. Und dass ist bei m = 2 der Fall.

Answer 2

Hi, man könnte \(f(x) = x^2\) um 1 nach links verschieben zu \(f_{schieb}(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\), die Tangente \(y=2x+1\) ablesen und diese dann wieder um 1 nach rechts verschieben zu \(y=2(x-1)+1=2x-1\), muss man aber nicht.