Geometr. Nebenbedingungen

Question

Gesucht sind die ersten beiden ableitungen von V (r) = r - πr³/2.

Weiter die nullstellenkandidaten und letztlich die überprüfung maxima und minima.

Answer 1

Gesucht sind die ersten beiden ableitungen von

V (r) = r - πr³/2.

V ´( r ) = 1 - 3 * π / 2  * r^2
V ´´ ( r ) = 3 * π * r^2

Weiter die nullstellenkandidaten

V (r) = r - πr³/2. = 0
V (r) = r * ( 1 r - π * r^2 / 2. )
r * ( 1 - π * r^2 / 2. )  = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
r = 0
und
1 - π * r^2 / 2 = 0
π * r^2 / 2 = 1
r^2  = 2 / π
r  = √ ( 2 / π )

( 0 | 0 )
(  √ ( 2 / π ) | 0 )

und letztlich
die überprüfung maxima und minima.

V ´( r ) = 1 - 3 * π / 2  * r^2
1 - 3 * π / 2  * r^2 = 0
3 * π / 2  * r^2  = 1
r^2 = 2 / 3
r = ± √ ( 2/3 )

Das ausrechnen des Funktionswerts
V (  ± √ ( 2/3 ) ) = ?

und zur Bestimmung ob min oder Max

V ´´ ( ± √ ( 2/3 )  ) = ?

überlasse ich zunächst dir.

Comments

Es waren einige Fehler in der Antwort
deshalb hier die Korrektur

gesucht sind die ersten beiden ableitungen von

V (r) = r - πr³/2.

V ´( r ) = 1 - 3 * π / 2  * r²
V ´´ ( r ) = -3 * π * r

Weiter die nullstellenkandidaten

V (r) = r - πr³/2. = 0
V (r) = r * ( 1 r - π * r² / 2. )
r * ( 1 - π * r² / 2. )  = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
r = 0
und
1 - π * r² / 2 = 0
π * r² / 2 = 1
r²  = 2 / π
r  = ± √ ( 2 / π )

N ( 0 | 0 )
N (  + √ ( 2 / π ) | 0 )  ( 0.798 | 0 )
N (  - √ ( 2 / π ) | 0 )   ( - 0.798 | 0 )

und letztlich
die überprüfung maxima und minima.

V ´( r ) = 1 - 3 * π / 2  * r²
1 - 3 * π / 2  * r² = 0
3 * π / 2  * r²  = 1
r² = 2 / ( 3  π )
r = ± √ ( 2 / (3 *π) ) ( 0.461 )

V (  0.461 ) = 0.307
V (  -0.461 ) = -0.307

E ( 0.461 | 0.307 )
E ( -0.461 | -0.307 )

und zur Bestimmung ob min oder Max

V ´´ ( 0.461  ) < 0 : Hochpunkt
V ´´ ( -0.461  ) > 0 : Tiefpunkt

Beantwortet vor 34 Minuten von goldusilberliebich

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wie komme ich auf die erste ableitung? was ist das für eine Regel?

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V   ( r )  = r - π r³ / 2

V ´  ( r )  = (  r - π * r³ / 2 ) ´

Summandenweises ableiten
V ´  ( r )  = r ´ -  ( π * r³ / 2 ) ´

und Potenzregel
V ´  ( r )  =  1  -   π * 3 * r² / 2

V ´( r ) = 1 - 3 * π / 2  * r²

mfg

Answer 2

V (r) = r - πr³/2; V' (r) = 1 - 3πr²/2; V'' (r) = - 6πr/2

Nullstellen: V (r) = r(1 - πr²/2) r=0 oder 1 - πr²/2=0; r_1/2=±√(2/π)

Nullstellen der ersten Ableitung: 0 = 1 - 3πr²/2; r_1/2=±√(2/(3π))

Einsetzen der negativen Wurzel in die 2.Ableitung wird >0 Minimum.

Einsetzen der positiven Wurzel in die 2.Ableitung wird <0 Maximum.

Comments

@goldund...

3 * π / 2  * r²  = 1
r² = 2 / 3
r = ± √ ( 2/3 )

Fehlt da  nicht ein π?