Mit quadratischer Gleichung lösbar? Die Leiter führt nach oben und liegt nicht am Boden.

Question

Eine Strecke der Länge 3 soll den Punkt P(1/1) enthalten und beide Koordinatenachsen berühren. Wie lauten die Koordinaten der beiden Punkte auf der x-Achse, die die Bedingung erfüllen?

Anderer Text zur selben Aufgabe:

Ein Würfel der Kantenlänge 1m berührt mit einer Fläche die Wand eines quaderförmigen Raumes. Eine 3m lange Leiter soll so an die Wand gestellt werden, dass sie den Boden, die Wand und eine Würfelkante berührt. (Normale Leiteraufstellung: Die Leiter führt nach oben und liegt nicht am Boden.)

Comments

Falls ich dir helfen male bitte eine Skizze
zu den Gegebenheiten.

Answer 1

Eine Strecke der Länge 3 soll den Punkt P(1/1) enthalten und beide Koordinatenachsen berühren. Wie lauten die Koordinaten der beiden Punkte auf der x-Achse, die die Bedingung erfüllen?

Eine Gerade durch P(1/1) hat in Abhängikeit von m die Parameterdarstellung y=mx+1-m. Der y-Achsenabschnitt ist dann 1-m und der x-Achsenabschnitt ist (m-1)/m. Der Abstand der Punkte (0/1-m) und ((m-1):m /  0) soll 3 sein. Daraus folgt (Pythagoras) (m-1)²+(m-1)²/m²=9. Diese Gleichung (4. Grades) hat vier Lösungen. Damit die Frage "Wie lauten die Koordinaten der beiden Punkte auf der x-Achse, die die Bedingung erfüllen?" Sinn macht, soll man wohl nur von den beiden positiven Lösungen sprechen.

Answer 2

Es ist schon ein paar Jahre her, dass ich mich mit dieser Aufgabe (mit der Leiterlänge 5m; die hier vorgegebenen 3m ergeben bereits anschaulich einen ungünstigen Aufstellwinkelb) beschäftigt habe. Zur 5m-Variante findest du unter

http://www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm#Leiter-Kiste-Aufgabe

verschiedene Überlegungen zu möglichen Herangehensweisen und auch einen Weg über quadratische Gleichungen. Gegen Ende der Seite werden auch mehrere Quellen zu diesem "Leiter-Kisten-Problem" genannt, darunter auch welche mit historischen Bezügen.