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folgende Aufgabe:

x2+9x29dx \int { \frac { { x }^{ 2 }+9 }{ { x }^{ 2 }-9 } } dx

Ich soll das unbestimmte Integral bestimmen, habe aber im Moment noch Probleme bei der Partialbruchzerlegung.


Soweit bin ich gekommen:


x2+9x29dx=x2+9(x3)(x+3)=Ax3+Bx+3=A(x+3)(x3)(x+3)=B(x3)(x3)(x+3)=A(x+3)(x29)+B(x3)(x29)=(A+B)x+3A3B(x29) \int { \frac { { x }^{ 2 }+9 }{ { x }^{ 2 }-9\quad } dx =\frac { { x }^{ 2 }+9 }{ (x-3)(x+3) } } =\quad \frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ x+3 } =\frac { A(x+3) }{ (x-3)(x+3) } =\frac { B(x-3) }{ (x-3)(x+3) } =\frac { A(x+3) }{ { (x }^{ 2 }-9) } +\frac { B(x-3) }{ { (x }^{ 2 }-9) } =\frac { (A+B)x\quad +\quad 3A-3B }{ { (x }^{ 2 }-9) }


Jetzt muss ich anscheinend einen Koeffizientenvergleich machen, aber ich verstehe leider nicht was das ist und wie ich das mache.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?


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Euer Zeurex

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Zunächst beseitigt man das x2x^2 x29+9+9x29=1+18x29\frac{x^2-9+9+9}{x^2-9}=1+ \frac{18}{x^2-9} Für den Rest führt man die Zerlegung durch 18x29=Ax3+Bx+3=(A+B)x+3A3Bx29\frac{18}{x^2-9}=\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}=\frac{(A+B)x + 3A-3B}{x^2-9}das ist doch genau dann ok, wenn gilt 18=(A+B)x+3A3B18 = (A+B)x + 3A-3B und dies muss aber für ALLE Werte von xx stimmen. Und dies wiederum ist hier genau dann der Fall, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind: A+B=0A+B=0 3A3B=183A-3B=18 .. sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Und die Lösung ist: A=3B=3A=3 \quad B=-3 folglich ist x2+9x29=3x33x+3+1\frac{x^2+9}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}- \frac{3}{x+3}+1

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(x2+9)/(x2-9)=3/(x-3)-3/(x+3)+1
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Sorry, ich kann nicht folgen.

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