Partialbruchzerlegung eines Bruchs

Question

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folgende Aufgabe:

$$ \int { \frac { { x }^{ 2 }+9 }{ { x }^{ 2 }-9 }  }  dx $$

Ich soll das unbestimmte Integral bestimmen, habe aber im Moment noch Probleme bei der Partialbruchzerlegung.

Soweit bin ich gekommen:

$$ \int { \frac { { x }^{ 2 }+9 }{ { x }^{ 2 }-9\quad  } dx =\frac { { x }^{ 2 }+9 }{ (x-3)(x+3) }  } =\quad \frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ x+3 } =\frac { A(x+3) }{ (x-3)(x+3) } =\frac { B(x-3) }{ (x-3)(x+3) } =\frac { A(x+3) }{ { (x }^{ 2 }-9) } +\frac { B(x-3) }{ { (x }^{ 2 }-9) } =\frac { (A+B)x\quad +\quad 3A-3B }{ { (x }^{ 2 }-9) } $$

Jetzt muss ich anscheinend einen Koeffizientenvergleich machen, aber ich verstehe leider nicht was das ist und wie ich das mache.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

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Euer Zeurex

Answer 1

Zunächst beseitigt man das \(x^2\) $$\frac{x^2-9+9+9}{x^2-9}=1+ \frac{18}{x^2-9}$$ Für den Rest führt man die Zerlegung durch $$\frac{18}{x^2-9}=\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}=\frac{(A+B)x + 3A-3B}{x^2-9}$$das ist doch genau dann ok, wenn gilt $$18 = (A+B)x + 3A-3B$$ und dies muss aber für ALLE Werte von \(x\) stimmen. Und dies wiederum ist hier genau dann der Fall, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind: $$A+B=0$$ $$3A-3B=18$$ .. sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Und die Lösung ist: $$A=3 \quad B=-3$$ folglich ist $$\frac{x^2+9}{x^2-9}=\frac{3}{x-3}- \frac{3}{x+3}+1$$

Answer 2

(x²+9)/(x²-9)=3/(x-3)-3/(x+3)+1

Comments

Sorry, ich kann nicht folgen.