Exponentielles Wachstum: Ausbreitung einer Viruserkrankung: f(t)=150*t^2 e^{-0.2t}, t≥0.

Question

Aufgabe:

In einer großen Stadt breitet sich eine Viruserkrankung aus. Die momentane Erkrankungsrate wird modellhaft beschrieben durch die Funktion \( f(t)=150 \cdot t^{2} e^{-0,2 t} ; t \geq 0 \quad \)

Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche. Zu Beginn ist eine Person krank. In Woche 1 gab es rund 123 Neuerkrankungen, in Woche 7 bereits 1812.

a) Berechnen Sie die zumindest die Anzahl der Neuerkrankungen für \( 5,10,20 \) und 30 wochen und skizzieren Sie den verlauf der Funktion \( f(t) \) im intervall \( [0 ; 45] \). Wann erkranken die meisten Personen?

b) Die Funktion \( f(t) \) kann im Intervall 1 bis 7 näherungsweise durch eine lineare Funktion \( g(t) \) angenähert werden. Geben Sie die Funktion \( \mathrm{g}(t) \) an. Berechnen Sie, wie viele Kranke nach 5 Wochen dazukamen und interpretieren Sie das Ergebnis in Bezug auf den tatsächlichen wert aus \( f(t) . \) Begründen Sie, warum das lineare Modell für Werte kleiner als 1 und Werte größer als 7 kein gutes Modell liefert.

c) In einer benachbarten Stadt mit 30.000 Einwohner/innen verläuft die Anzahl der Erkrankungen nach dem exponentiellen Modell. Nach 7 Wochen ist bereits die Hälfte aller Einwohner/innen infiziert. Geben Sie die Wachstumsfunktion h(t) an und berechnen Sie, wann bereits 5.000 der Bewohner/innen am Virus erkrankt sind. Ein Arzt behauptet, dass die Anzahl der Erkrankten pro Woche um 400 % zunimmt. Für welche Wochenanzahl t macht seine Aussage Sinn?

Answer 1

a) 

Wertetabelle

[0, 0;
5, 1379.547904;
10, 2030.029248;
15, 1680.313557;
20, 1098.938333;
25, 631.6825311;
30, 334.6315438;
35, 167.5583111;
40, 80.51103069;
45, 37.48572799]

Skizze:

 

Die meisten Leute erkranken nach 10 Wochen.

Comments

f(1) = 122.8

f(7) = 1812.5

g(x) = (1812.5-122.8)/(7-1)*(x - 1) + 122.8 = 16897·x/60 - 9529/60

g(5) = 1249.3

f(5) = 1379.5

Die Lineare Funktion würde hier weniger Erkrankungen liefern. Unter 1 Woche und nach 7 Wochen ist die Änderung der Erkrankungsrate zu größ, sodass die Abweichung vom linearen Verlauf größer wird.

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bitte um erklärung der funktion. ist für mich leider spanisch.
und wie rechne ich das beispiel genau ? bzw. wie setz ich in die funktion ein ?

fragestelleung b) ist mir z.b. komplett unklar

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wie haben die die 10 wochen berechnet ? mittels der extrempunkte, oder? dazu brauch ich aber doch die erste ableitung ? wie ist denn die ?

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f'(t) = e^{- 0.2·t}·(300·t - 30·t^2) = 0

Für b) habe ich einfach den Anfangs und Endpunkt genommen und dann eine lineare Funktion durch 2 Punkte gelegt. Das ist Stoff der 8. oder 9. Klasse mit linearen Gleichungen.

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bei c) komme ich zwar auf eine Stammfunktion aber dort wäre die Erkrankung von 5000 Personen vor Anfang des Beobachtungsbeginns gewesen.

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@Mathecoach: Du wolltest vermutlich schreiben:

Für b) habe ich einfach den Anfangs und Endpunkt genommen und dann eine lineare Funktion durch 2 Punkte gelegt. Das ist Stoff der 8. oder 9. Klasse mit linearen Gleichungen.

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Ja, genau das wollte ich schreiben. Danke für die Korrektur.

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mir ist noch nie klar wie sie auf die 10 wochen gekommen sind (der zeitpunkt mit den meisten erkrankten)

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hab das mal durchgerechnet. mir ist alles klar (schon mal vielen dank vorab!) bis auf das mit den 10 wochen (die miesten erkrankten) :(

könnte mir das noch jemans erklären ? wäre spitze ! :)

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Damit die Funktion ein Maximum hat muss die Ableitung 0 werden. Oben steht ja im Kommentar schon die Ableitungsfunktion.

f'(t) = e^{- 0.2·t}·(300·t - 30·t²) = 0

die e-Funktion kann nicht null werden, damit muss die Klammer null sein. Das ist bei 10 der Fall.

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wie funktioniert denn c) ?

da muss ich die funktion aufstellen, oder?

Answer 2

Teilaufgabe c) Ohne Gewähr!

Ansatz: Exponentielles Wachstum:

h(t) = a*b^t

h(0) = 1. 'zu Beginn ist eine Person krank' -----> a=1

h(7) = 15'000 = b^7

b = 15'000 ^{1/7} = 3.94989

Diese Zahl im Rechner speichern oder vereinbarte Rundungsregeln einhalten.

h(t) = 3.94989^t 

3.94989^t  = 5000

t = ln (5000)/ln(3.94989) = 6.20025    D.h. nach ca. 6 Wochen sind bereits 5000 Personen erkrankt.

 

h(t) ableiten und  =5 setzen  (Darfst du wohl mit gerundeten Werten rechnen) Hier mal 'exakt':

h'(t) = 1/7 2^{3 t/7} 3^{t/7} 5^{4 t/7} log(15000) = 5 . Multiplikation mit 5 entspricht 400% Zunahme.

t = 0.94049    Nach 0.94049 Wochen also ca. 1 Woche beträgt die Zunahme ca. 400% pro Woche

Comments

Ok. Ich hatte hier eine Stammfunktion zu f gebildet und damit gerechnet. Damit kamen aber irgendwie unsinnige Werte heraus. Irgendwie geht das aber aus der Aufgabe nicht klar hervor welches exponentielle Modell genommen werden soll.

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Finde es unglücklich, dass erst eine Wachstumsfunktion angegeben wird und dann in c) plötzlich mit exponentiellem Wachstum gerechnet werden soll. Trotzdem muss man ja aus dem ersten Teil wieder entnehmen, dass zur Zeit t=0 ein Person krank ist. Sonst hat man selbst hier zu wenig Angaben.

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"die anzahl der erkrankungen nimmt pro woche um 400% zu"

kann ich mir mit der angabe nicht eine 2te funktion aufstellen und diese dann beide gegenseitig auflösen ???

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Lu hat das doch sehr anschaulich vorgerechnet. Was willst du für eine neue Funktion aufstellen. eine bei der das Wachstum 400% ist? Das brauchst du doch nicht.