Primzahlen und Summen von aufeinander folgenden Zahlen

Question

Begründen Sie die folgenden Zusammenhänge:
a) Jede Primzahl ≠2 besitzt genau eine Zerlegung in eine Summe aufeinander folgender Zahlen.
b) 3 ist die einzige Primzahl, die zugleich Dreieckszahl ist.
c) Wenn eine Zahl n>3 bei Division durch 6 den Rest 2 oder den Rest 3 lässt, dann ist n keine Primzahl.

Comments

Zeigen kann ich das Blaue

a) Jede Primzahl ≠2 besitzt genau eine Zerlegung in eine Summe zweier(?) aufeinander folgender natürlicher Zahlen. 

Primzahlen p ≠ 2 sind ungerade und lassen sich darstellen als

p = 2n + 1, n Element N.

Nun gilt

2n+1 = n + n + 1 = n+(n+1) 

n und n+1 sind zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

Eine andere Zerlegung in zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen kann es nicht geben, da die Summanden von (2n+1)/2 = n+1/2 einen Abstand von weniger als 1 haben müssen. 

Answer 1

c) Sei n>3.

Bei Division durch 6 lässt n den Rest 2. Dann haben wir folgendes: $$n=6\cdot q+2=2\cdot 3\cdot q+2=2\cdot \left(3\cdot q+1\right)$$ n ist also keine Primzahl, da es ausser von 1 und sich selbst, auch von 2 teilbar ist.

Bei Division durch 6 lässt n den Rest 3. Dann haben wir folgendes: $$n=6\cdot q+2=3\cdot 2\cdot q+3=3\cdot \left(2\cdot q+1\right)$$ n ist also keine Primzahl, da es ausser von 1 und sich selbst, auch von 3 teilbar ist.