Die Summe von k=2n+1 aufeinander folgenden Zahlen ist k·m - warum?

Question

Sei k eine ungerade Zahl. Seien k aufeinander folgende Zahlen aus N0 gegeben. Die mittlere dieser Zahlen heiße m . Behauptung:

Die Summe von k aufeinander folgenden Zahlen aus N0 ist k·m .

Notiere erneut in jedem der drei Fälle die k Zahlen, aber jetzt mit Hilfe der Buchsta- benvariablen m , also: für die mittlere Zahl schreibe m , für ihren Vorgänger m–1 , für deren Vorgänger m–2 , für den Nachfolger von m schreibe m+1 usw.

Summiere die so geschriebenen Zahlen alle auf, und begründe mit einem kurzen Argument, wieso diese Summe k·m beträgt. 

Ich habe einige Fälle angegeben, und herausgefunden das die Behauptung stimmt. Das einzige wo ich jetzt nicht drauf komme ist WARUM stimmt sie ?

Kennt sich jemand mit dem Thema aus und könnte mir helfen ? 

Danke :-)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Studium,

Stichworte: studium,universität

Sei k eine ungerade Zahl. Seien k aufeinander folgende Zahlen aus N0 gegeben. Die mittlere dieser Zahlen heiße m . Behauptung:

Die Summe von k aufeinander folgenden Zahlen aus N0 ist k·m .

Notiere erneut in jedem der drei Fälle die k Zahlen, aber jetzt mit Hilfe der Buchsta- benvariablen m , also: für die mittlere Zahl schreibe m , für ihren Vorgänger m–1 , für deren Vorgänger m–2 , für den Nachfolger von m schreibe m+1 usw.

Summiere die so geschriebenen Zahlen alle auf, und begründe mit einem kurzen Argument, wieso diese Summe k·m beträgt. 

Ich habe einige Fälle angegeben, und herausgefunden das die Behauptung stimmt. Das einzige wo ich jetzt nicht drauf komme ist WARUM stimmt sie ?

Kennt sich jemand mit dem Thema aus und könnte mir helfen ? 

Danke :-)

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Vom Duplikat:

Titel: Studium, Beweis

Stichworte: studium,universität

Sei k eine ungerade Zahl. Seien k aufeinander folgende Zahlen aus N0 gegeben. Die mittlere dieser Zahlen heiße m . Behauptung:

Die Summe von k aufeinander folgenden Zahlen aus N0 ist k·m .

Notiere erneut in jedem der drei Fälle die k Zahlen, aber jetzt mit Hilfe der Buchsta- benvariablen m , also: für die mittlere Zahl schreibe m , für ihren Vorgänger m–1 , für deren Vorgänger m–2 , für den Nachfolger von m schreibe m+1 usw.

Summiere die so geschriebenen Zahlen alle auf, und begründe mit einem kurzen Argument, wieso diese Summe k·m beträgt. 

Ich habe einige Fälle angegeben, und herausgefunden das die Behauptung stimmt. Das einzige wo ich jetzt nicht drauf komme ist WARUM stimmt sie ?

Kennt sich jemand mit dem Thema aus und könnte mir helfen ? 

Danke :-)

Answer 1

Hallo Lina98! :-)

Bsp.
10 + 11 + 12 = 33
m=11
k=3
3*11 = 33 jupp, stimmt

11-1 + 11 + 11+1  = 11 + 11 + 11 = 33 stimmt auch

Wir haben k aufeinanderfolgende Summanden, k ist ungerade. Eine solche Summe hat stets einen "mittleren Summanden", den wir m nennen. Links von m sind die Vorgänger mit der Anzahl n = (k-1) / 2 Summanden und rechts von m sind die Nachfolger mit ebenfalls (k-1) / 2 Summanden. Die Summe lässt sich als   (m-n) +  ... +  (m-2) + (m-1) + m + (m+1) + (m+2) + ... + (m+n) schreiben. Alle von m verschiedene Summanden  -n - ... -2  -1  + 1 + 2 + ... + n heben sich auf und übrig bleiben k Summanden, wobei jeder Summand den Zahlenwert m hat.

Beste Grüße