Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (ab 1) ergibt Quadratzahl

Question

Warum ergibt die aufeinanderfolgende Summe der ungeraden Zahlen stets eine Quadratzahl? Bitte Zusammenhang erklären. 1+3=4; 1+3+5=9; 1+3+5+7= 16 usw.

Answer 1

Beweis durch vollständige Induktion:

1+3+5+ ... +(2n-1) = n²

Mit n=1:

(2n-1) = n²

(2-1) = 1²

1 = 1 → stimmt für n=1

Mit n+1:

zu zeigen:
[ 1+3+5+...+(2n-1) ] + (2(n+1)-1) = (n+1)²

[ n² ] + (2(n+1)-1) =

n² + (2n+2-1) =

n² + 2n + 1 = (n + 1)²

Wieder eine Quadratzahl =)))

Answer 2

Das kann man sich an folgendem Bild recht gut klar machen:

Wir haben hier die grafische Darstellung der Ungeraden Zahlen

2n + 1 für n = 0 bis 7

Summiert man diese Zahlen auf erhält man immer ein etwas größer werdendes Quadrat.

Answer 3

Beweis über vollständige Induktion (siehe Antwort von "Anonym")  oder auch direkt:

Die ersten n ungeraden Zahlen können durch den Ausdruck 2 n - 1 dargestellt werden. Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, bildet also die Summe:

Summe [ i = 1 ... n ] ( 2 i - 1 )

so ergibt sich daraus:

= 2 * Summe [ i = 1 ... n ] ( i ) - Summe [ i = 1 ... n ] ( 1 )

Die erste Summe lässt sich mit der Gaußschen Summenformel umschreiben, die zweite Summe ergibt den Wert n, also:

= 2 * n * (n + 1 ) / 2 - n

= n ² + n - n

= n ²

Damit ist gezeigt: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen hat den Wert n ² .
Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt also nicht nur irgendeine Quadratzahl sondern genau das Quadrat von n.