Zeichnet man eine Gerade durch einen Kreis, dann entstehen zwei Kreissegmente. Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes ist
A = r2/2 · (α - sin(α)).
Dabei ist α der Winkel in Bogenmaß zwischen den Strecken vom Mittelpunkt zu den Schnittpunkten von Gerade und Kreis.
Bei n Geraden muss das kleinste Kreissegment den Flächeninhalt A/(n+1) = πr2/(n+1) haben. Für dieses Kreissegment gilt also
πr2/(n+1) = r2/2 · (α - sin(α))
und somit
π/(n+1) = 1/2 · (α - sin(α))
Das lässt sich umformen zu
2π/(n+1) + sin(α) - α = 0.
Jetzt würde ich mit numerischen Methoden für konkrete n die Nullstellen der Funktion
fn(α) = 2π/(n+1) + sin(α) - α
bestimmen. Zum Beispiel liefert das Newton-Verfahren für n = 100 und Genauigkeit von 10 Dezimalstellen einen Winkel von 41.6179398476°.
Mittels h = r·(1 - cos(α/2)) kann daraus die Höhe des Kreissegmentes berechnet werden.
Damit der Flächeninhalt zwischen Kreis, erster und zweiter Geraden gleich dem Flächeninhalt zwischen Kreis und erster Gerade ist, muss der Flächeninhalt des Kreissegmentes der zweiten Geraden doppelt so groß sein. Es muss also die Größe 2A/(n+1) = 2πr2/(n+1) haben.
Allgemein muss der Flächeninhalt des Kreissegmentes der k-ten Geraden k·A/(n+1) = k·πr2/(n+1) sein, was zu der Funktion
fk,n(α) = 2kπ/(n+1) + sin(α) - α
führt.