Einfache Frage zu Kreisteilflächen, unlösbar?

Question

Die Aufgabe lautet: "Teile einen Kreis durch n parallele Geraden in n+1 gleich große Flächen."

n sollte hier ungerade sein und noch einstellig, z. B. 9.

An dieser Aufgabe rätseln wir seit über 20 Jahren herum (3 Physiker aus meiner Abiklasse von damals, 2 ehem. Mathelehrer) und ich selbst (nicht vom Fach). Die meisten die ich drauf ansprach, sagten spontan: nichts leichter als das. Aber die letzte Aussage war dann immer: ist nicht lösbar.

Praktische Anwendung: Bei einem Regenwasserfaß in Form eines liegenden Zylinders (5 m³) wollte ich Schwimmerschalter anbringen, damit pro 500 l Wasserfüllung eine LED als Wasserstandanzeige geschaltet werden kann. In welchen Höhen muß ich die Schalter positionieren.

Gelöst habe ich es damals duch auslitern eines liegenden Rohrstücks (100er Kanalrohr) das mit einer Glasscheibe verschlossen war, und ich habe dann die Wasserstände gemessen beim einfüllen jeweils eines 10ten Teiles des Gesamtinhalts.

Gibt es dazu auch eine rechnerische Lösung (Formel)? Und falls nicht, warum nicht.

Aber bitte nicht deswegen nächtelang rumrechnen, ich habe mein Problem ja, wie gesagt, bereits mit hinreichender Genauigkeit gelöst. Nur falls sich jemand aus eigenem Interesse herausgefordert fühlt, das mal grundsätzlich durchzudenken, dann wäre ich am Ergebnis seiner Überlegungen interessiert.

Answer 1

Zeichnet man eine Gerade durch einen Kreis, dann entstehen zwei Kreissegmente. Der Flächeninhalt eines Kreissegmentes ist

        A = r²/2 · (α - sin(α)).

Dabei ist α der Winkel in Bogenmaß zwischen den Strecken vom Mittelpunkt zu den Schnittpunkten von Gerade und Kreis.

Bei  n Geraden muss das kleinste Kreissegment den Flächeninhalt A/(n+1) = πr²/(n+1) haben. Für dieses Kreissegment gilt also

        πr²/(n+1) = r²/2 · (α - sin(α))

und somit

        π/(n+1) = 1/2 · (α - sin(α))

Das lässt sich umformen zu

        2π/(n+1) + sin(α) - α = 0.

Jetzt würde ich mit numerischen Methoden für konkrete n die Nullstellen der Funktion

        f_n(α) = 2π/(n+1) + sin(α) - α

bestimmen. Zum Beispiel liefert das Newton-Verfahren für n = 100 und Genauigkeit von 10 Dezimalstellen einen Winkel von 41.6179398476°.

Mittels h = r·(1 - cos(α/2)) kann daraus die Höhe des Kreissegmentes berechnet werden.

Damit der Flächeninhalt zwischen Kreis, erster und zweiter Geraden gleich dem Flächeninhalt zwischen Kreis und erster Gerade ist, muss der Flächeninhalt des Kreissegmentes der zweiten Geraden doppelt so groß sein. Es muss also die Größe 2A/(n+1) = 2πr²/(n+1) haben.

Allgemein muss der Flächeninhalt des Kreissegmentes der k-ten Geraden k·A/(n+1) = k·πr²/(n+1) sein, was zu der Funktion

        f_k,n(α) = 2kπ/(n+1) + sin(α) - α

führt.

Comments

Zunächst mal herzlichen Dank für die Antwort. Ich bin ja wie gesagt "nicht vom Fach", mache solche Dinge eher auf niedrigem Niveau, soweit ich das als Handwerker benötige, habe aber durchaus Freude daran - vor allem dieses "alte Wasserfaß-Problem" hat mich bisher nie ganz losgelassen.

Ich kann Ihren Vorschlag daher noch nicht vollständig in der Praxis nachvollziehen, habe aber was den Lösungsansatz anbelangt den ersten Eindruck, dass er einen Weg beschreibt, an den ich bisher noch nicht gedacht habe. Und auch alle Fachleute aus meinem Freundeskreis offensichtlich noch nicht. Er scheint aber verblüffend einfach zu sein.

Wenn ich es richtig verstanden haben, dann wird hiermit für den (n+1)-ten Teil der Kreisfläche der dazugehörige Winkel errechnet und danach für die doppelte, dreifache... Fläche ebenfalls die dazugehörigen Winkel aus denen sich wiederum die senkrechten Abstände der Geraden zum Kreismittelpunkt  - und daraus auch die Höhen der Wasserstände über dem unteren Punkt meines liegenden Regenwasserfasses errechnen lassen.

Da freue ich mich jetzt sehr darauf, Ihren Lösungsweg bei unserem nächsten Zusammentreffen mit meinen Abikameraden zu diskutieren und nachzuvollziehen.

Grüße von haku

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> dann wird hiermit für den (n+1)-ten Teil der Kreisfläche der dazugehörige Winkel errechnet und danach für die doppelte, dreifache... Fläche

Das ist richtig.

> aus denen sich wiederum die senkrechten Abstände der Geraden zum Kreismittelpunkt ... errechnen lassen.

h ist schon die Höhe des Wasserstandes. Sobald man die einzelnen Werte für h hat, braucht nichts mehr weiter berechnet werden. Formeln und Bezeichnungen habe ich von wikipedia://Kreissegment.

> Aber die letzte Aussage war dann immer: ist nicht lösbar.

Ich könnte mir vorstellen, dass das daher kommt, dass die Nullstellen der Funktion

        f_k,n(α) = 2kπ/(n+1) + sin(α) - α

nicht durch Gleichungsumformungen  berechnet werden können. Das heißt es gibt keinen Term in den man einfach die Werte für n und k einsetzt und der dann den richtigen Wert für α liefert. Meine Lösung ist also eher ein Verfahren, keine Formel.

Bei numerischen Verfahren wird  zunächst eine Näherung berechnet und diese dann schrittweise verbessert bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat. Das ist mathematisch nicht so ergiebig wie eine Formel. Praktisch gesehen haben aber auch Messinstrumente nur eine begrenzte Genauigkeit, so dass es zum Beispiel sinnlos wäre, die Höhe des Schwimmschalters auf tausendstel Millimeter genau auszurechnen, wenn der Zollstock mit dem man die Höhe misst nur millimetergenau abgelesen werden kann.

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Ok, herzlichen Dank noch einmal für die ergänzenden Erläuterungen.

Werde das in den nächsten Tagen dann noch einem versuchen noch besser zu verstehen.

Answer 2

Meine Überlegungen,

Skizze : die Sreifen stind vertikal,
alle Streifen haben den gleichen Flächeninhalt

A ( Kreis ) = r^2 * π
A ( Streifen ) = A ( Kreis ) / 8
A ( Streifen im 1.Quadranten ) = r^2 * π / 16 = Aq

Aq ist die grüne Fläche

Kreisgleichung

r^2 = x^2 + y^2
f ( x ) = y = √ ( r^2 - x^2 )

Winkel alpha = arctan ( f ( x ) / x ) = arctan ( √ ( r^2 - x^2 ) / x ))

Der Kreissektor ist der Anteil des vom Winkel alpha
eingeschlossenen Kreisteils.

Vollkreis 360 ° : hier 2 * π
Fläche =  alpha / ( 2 * π ) * A ( Kreis )
Fläche = arctan ( f ( x ) / x ) / ( 2 * π ) * A ( Kreis )
Fläche = arctan (  √ ( r^2 - x^2 ) / x ) ) / ( 2 * π ) * r^2 * π
Fläche = arctan (  √ ( r^2 - x^2 ) / x ) ) /  2 * r^2
Die Dreiecksfläche links neben dem grünen
Kreissegment ist : x * f ( x ) / 2

grünes Keissegment = Fläche minus Dreiecksfläche
arctan (  √ ( r^2 - x^2 ) / x ) ) / 2 * r^2 * π
minus  x * f ( x ) / 2
und soll r^2 * π / 16 betragen ( Aq oben )

Es gibt nur 2 Variable r und x
r setze ich einmal = 1

arctan (  √ ( 1 - x^2 ) / x ) ) / 2 * 1 * π
minus  x * √ ( 1 - x^2 ) / 2
= 1 * π / 16

Nach x aufzulösen geht wohl nicht.
Aber umgeformt zu

arctan (  √ ( 1 - x^2 ) / x ) ) / 360 * π
minus  x * √ ( 1 - x^2 ) / 2
minus π / 16  = Null

Falls alles stimmt kann mit dem Newtonschen Verfahren
x bestimmt werden.

x = 0.6347

Comments

Bei einem Regenwasserfaß in Form eines liegenden Zylinders (5 m³) wollte ich Schwimmerschalter anbringen
Teile einen Kreis durch n parallele Geraden in n+1 gleich große Flächen."

n = 9, 10 Teilflächen
Kanalrohr 100 heißt
d = 10 cm Durchmesser ???

wäre ein bißchen wenig ???

Wenn die Abmessungen geklärt sind
kann ich einmal rechnen.

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...wie gesagt, ich hab das Kanalrohrstück nur als Modell genommen um die proportionalen Höhen durch Messen zu ermitteln. Danach dann logischerweise umgerechnet auf den tatsächlichen Durchmesser des Regenwasserfasses.

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Du mußt wissen ob oder wie es weitergehen
soll.

3 Antworten hast du.

mfg

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Ja, und ich bin beeindruckt, dass es da doch relativ einfache Wege gibt, auch auf rechnerischem Weg zu der Lösung zu kommen.

Daher noch einmal herzlichen Dank an alle Mitdenker und Vorschlaggeber - und wie ich eingangs schon sagte, habe ich ja seit über 20 Jahren schon eine Lösung für das "Tankproblem", mit der ich leben kann...

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Gut das du dich geistig fit hältst u.a. mit der
Beschäftigung mit mathematischen Aufgaben-
stellungen.

Aber damals gab es noch kein Wikipedia und keine mathelounge.de - noch nicht einmal Internet für "Otto Normalverbraucher". Hatte zwar schon einen Atari ST und plante den ersten 286er fürs Geschäft zu erweben.

Mit  dem Computer, Internet und auch Mathematik-
programmen habe ich doch schon bedeutend mehr
Nutzen für mein Mathe-Hobby ziehen können.

Matheprogramme können den Arbeitsaufwand für Routinearbeiten sehr deutlich verringern.
Eine Grapik ist schnell erstellt.
Im Internet gibt es jede Menge Lernvideos.
In den Foren kann interaktiv Mathe betrieben
werden.

mfg

Answer 3

Die Pegelfunktion für einen liegenden Zylinder ist auch unter dem Begriff "Tankproblem" geläufig. Ansätze und Formeln finden sich zum Beispiel hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Volumenberechnung_eines_liegenden_Kreiszylinders_.28Tank-Problem.29

(Der Link funktioniert in der Vorschau nicht, in der fertigen Seite scheint er aber zu funktionieren.)

Einen Online-Rechner zum Thema enthält die auch sonst sehr schöne Seite

http://www.langeneggers.ch/nuetzliches/geometrie/liegender-zylinder.html

Comments

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Nun habe ich "meine Frieden" mit der Mathematik bzw. der Geometrie, die jetzt mit Ihrer Hilfe Wege offenbart hat, die zum Ziel führen, ohne dass man sich in seitenlangen Integralen und nächtelangem Rechnen verliert.

Aber damals gab es noch kein Wikipedia und keine mathelounge.de - noch nicht einmal Internet für "Otto Normalverbraucher". Hatte zwar schon einen Atari ST und plante den ersten 286er fürs Geschäft zu erweben. Aber mein Faßproblem mußte ich dann doch erst noch einmal "zu Fuß" lösen.

Und wie schon angedeutet, werde ich das in den nächten Wochen mit der Hilfe des einen oder anderen Experten unter meinen Freunden noch einmal selber nachvollziehen, was hier vorgeschlagen wurde.

Danke nochmal an die Gemeinde!