Question

Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion gesucht.

Folgende Eigenschaften soll sie haben:

Nullstellen sind x1=2 (einfach) und X2=-4(doppelt)

Pole sind X3=-1 und x4=1

Y(0)=4

Weitere Pole und Nullstellen existieren nicht.

Wie geht man an so eine Aufgabe heran?

Answer 1

Nullstellen ergeben Linearfaktoren im Zähler, die beim Einsetzen der Nullstelle 0 ergeben, bei Polstellen sind es entsprechende LF im Nenner.

Edit: ... (x+4)² nach Kommentar von nn eingefügt.

f(x) = \(\frac{a·(x-2)·(x+4)^2}{(x-1)·(x+1)}\)  ist die einfachste Möglichkeit

f(0) = -32a / (-1) = 32a = 4  →  a = 1/8 

f(x) = \(\frac{(x-2)·(x+4)^2}{8·(x-1)·(x+1)}\)   =   \(\frac{x^2+6x^2-32}{8x^2-8}\) 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke. So finde ich es auch logisch. Allerdings steht im Lösungsbuch etwas anderes:

y= (x³+6x²-32) / (8x²-8)

Wie ginge das?

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Liegt vielleicht daran, dass x = -4 eine doppelte Nullstelle sein soll.
Der Zähler sollte a·(x-2)·(x+4)² lauten.

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Richtig, hatte ich leider übersehen. Danke für den Hinweis.

Werde es korrigieren.

[ Vielleicht wäre es sinnvoll, solche Vergleichslösungen in der Frage anzugeben, dann würde so ein Fehler direkt auffallen :-) ]