(a) ist wieder ein Eigenwertproblem, und mir für heute Abend 'to much'.
(b) Die Definition von 'eigentlich orthogonal' ist IMHO: die Spaltenvektoren bilden eine orthogonale Basis und das System ist rechtsdrehend.
\(n = \frac{1}{4}(3; -1; \gamma)^T\), \(o = \frac{1}{4}(-1; 3; \gamma)^T\) und \(a=\frac{1}{4}( \gamma; \gamma; 2)^T\) seien die Spaltenvektoren von \(C_\gamma\). Damit \(C_\gamma\) eigentlich orthogonal ist, muss \(n \cdot o=0\) sein und \( n \times o \) muss linear abhängig zu \(a\) sein. Aus der ersten Bedingung folgt
$$\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \gamma\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ \gamma\end{pmatrix} = -3 + (-3) + \gamma^2= 0 \quad \Rightarrow \gamma = \pm \sqrt{6}$$
(Bem:den Faktor \(\frac{1}{4}\) kann man hier weg lassen). Aus der zweiten Bedingung folgt
$$\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \gamma\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ \gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \gamma\\ -4 \gamma\\ 8 \end{pmatrix}= f \cdot \begin{pmatrix} \gamma\\ \gamma\\ 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \gamma = 0$$
das ist ein Widerspruch zu der Forderung oben!?
Kann es sein, dass in der Aufgabenstellung ein Minuszeichen zu viel steht? Mit \(n = \frac{1}{4}(3; 1; \gamma)^T\) wäre \(\gamma=0\) und alles würde aufgehen. Hier komme ich leider nicht weiter.
Gruß Werner
