Begründung, Integral konvergent

Question

Was meint man genau mit Vergleich?    

                      

Answer 1

Und schon wieder hallo Probe :-),

 ₁∫^∞ 1/x² dx = [ -1/x ]₁^∞ =  lim_a→∞ [ -1/x ]₁^a  =  lim_a→∞ ( -1/a - (-1) )  = 1

Dieses Integral konvergiert also.

f(x) = 1/x² und g(x) = 1/(1+x²)  sind in [1 , ∞ [ streng monoton fallend                                                    mit  Grenwert 0 für x→∞. Es gil g(x) < f(x) für alle x.

Der Graph von g verläuft also immer oberhalb der x-Achse zwischen dem von f                  und der x-Achse.

Deshalb konvergiert auch   ₁∫^∞ 1/ (1+x²)  dx                                                                                       [  ₁∫^∞ 1/x² dx ist eine konvergente Majorante) ]

(Wenn man sich die Integrale als Maßzahlen der Flächeninhalte vorstellt, sieht man das sofort ein)

Gruß Wolfgang