Und schon wieder hallo Probe :-),
1∫∞ 1/x2 dx = [ -1/x ]1∞ = lima→∞ [ -1/x ]1a = lima→∞ ( -1/a - (-1) ) = 1
Dieses Integral konvergiert also.
f(x) = 1/x2 und g(x) = 1/(1+x2) sind in [1 , ∞ [ streng monoton fallend mit Grenwert 0 für x→∞. Es gil g(x) < f(x) für alle x.
Der Graph von g verläuft also immer oberhalb der x-Achse zwischen dem von f und der x-Achse.
Deshalb konvergiert auch 1∫∞ 1/ (1+x2) dx [ 1∫∞ 1/x2 dx ist eine konvergente Majorante) ]
(Wenn man sich die Integrale als Maßzahlen der Flächeninhalte vorstellt, sieht man das sofort ein)
Gruß Wolfgang