Invertierbarkeit einer Matrix auf grund linear unabhängiger Elemente

Question

Sei K ein Körper und n ∈ ℕ und A ∈ Knxn. Seien z1,...,zn ∈ K1xn, die Zeilen von A. Zeigen sie, dass A genau dann invertierbar ist, wenn (z1,...zn) linear unabhängig ist.

Answer 1

Hier ein paar Punkte die dir helfen sollten,  den Beweis auszustellen :

Eine Matrix ist investierbar wenn die Determinate ungleich 0 ist.

Addieren wir ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen,  so ändert sich die Determinate nicht.

Haben wir eine Matrix in oberer bzw. unterer Dreicksform,  so können wie die Determinate aus dem Produkt der diagonalen bestimmen.

Setze diese Sachen in Bezug zur Aufgabe und du bist schon so gut wie fertig.

Comments

Vielen Dank Marvin Pogoda,

das Problem ist, dass ich eben jene Methode auch anwenden würde, weil ich vorher auf einer anderen Schule dies so gelernt habe aber jetzt hier n der Uni darf ich noch keine Determinante benutzen und damit komm ich nicht klar.

Du kennst nicht zufälligerweise noch einen anderen Lösungsweg? LG

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Was habt ihr denn alles an Definitionen  bezüglich der inverse bzw. der investierbarkeit einer Matrix?

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Sollte die Matrix A nicht so oder so investierbar sein?  Sie stammt doch aus dem Körper und dieser ist multiplikativ eine abelsche Gruppe (ohne die 0).

Das d.h. die Nullmatrix wäre die einzige Matrix,  die in dem Körper liegt und keine inverse hat bzw. die einzige Matrix für die die obere Bedingung  zu zeigen wäre.

Liegen ich da richtig?

Answer 2

wenn die Zeilen linear unabhängig sind,

sind es die Spalten auch.

Also hat das zur Matrix gehörige homogene LGS

nur die triviale Lösung :  Alles Nullen.

Also wird beim erweiterten Gauss-Algorithmus die Matrixumgeformt zur Einheitsmatrix.

Den gleichen Algorithmus wendet man bei der

Bestimmung der Inversen an : Und zwar

parallel auf die gegebene Matrix und dieEinheitsmatrix.  Da die Matrix dabei
auf die Einheitsmatrix umgeformt werden kann,

entsteht nebenan die Inverse.