Basis ermitteln sodass U + span(e) = R^4

Question

Hallo

Die vier vektoren v_1 = (1,-1,3,2), v_2 = (2,-1,0,1), v_3 = (-3,1,3,0), v_4 = (0,0,3,1) spannen ein Unterraum von R^4 auf, ich soll nun eine Basis von U ermitteln sodass U + span(e_j) mit j element von {1,2,3,4} = R^4. (e ist ein kanonischer Basisvektor)

Die Vektoren sind linear abhängig also habe ich den ersten als linearkombination der anderen geschrieben. v_2, v_3, v_4 sind ja nun linear unabhängig und eine Basis von U, wie gehts jetzt weiter? Ich brauche ja jetzt irgendwie bestimmte kanonische Basisvektoren sodass sich R^4 ergibt.

Answer 1

Da eine Basis von IR⁴ immer 4 Elemente hat,

musst du nur einen der 4 kanonischen Basisvektoren

zu den dreien tun, die du schon hast.

Die dann vier Stück müssen aber nat. lin.

unabh. sein, damit sie eine Basis von IR⁴ bilden.

Mit dem ersten kann. Basisvektor

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klappt es nicht ( wird lin. abh.)

Mit dem zweiten schon. Also nimm

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zu v2 v3 v4 hinzu.