Zeigen sie, dass B = (X^n +1)_n∈ℕ≥1 eine Basis des Unterraums U ist

Question

Hallo, ich probiere mich gerade etwas an Vektorräumen und bin auf die folgende Aufgabe gestoßen

Im ℝ–Vektorraum V = ℝ[X] betrachten wir den Unterraum U = {P ∈ ℝ[X] | 2P(0) = P(1) }.

Zeigen Sie, dass B = (Xⁿ +1)_n∈ℕ≥1 eine Basis des Unterraums U ist.

Bei dieser Aufgabe muss man ja unter anderem die lineare Unabhängigkeit, jedoch komm ich an diesem Punkt nicht weiter. Un wie könnte ich die Basis ergänzen, sodass sie nicht mehr vom Unterraum, sondern eine Basis vom Vektorraum habe ?

Ich bedanke mich schon im Voraus an diejenigen, die mir helfen wollen!

Answer 1

Hallo,

was die lineare Unabhängigkeit angeht, so gehe ich davon aus, dass Ihr benutzen könnt, dass die Polynome \(P_n, P_n(X)=X^n, n=0,1,\ldots\), eine Basis bilden. Damit sind die \(B_n, B_n(X)=X^n+1, n=1,2,\ldots\) ebenfalls linear unabhängig. Denn wenn:

$$0=\sum_{i=1}^ms_iB_i \Rightarrow 0= \sum_{i=1}^m s_i X^i+ \left(\sum_{i=1}^ms_i\right) X^0$$

Wegen der linearen Unabhängigkeit der \(P_n\) folgt, dass alle \(s_i=0\) sind.

Wenn wir jetzt ein beliebiges Polynom \(Q\) betrachten, so gilt:

$$Q(X)= \sum_{i=0}^ms_i X^i=\sum_{i=1}^ms_iB_i + s_0-\sum_{i=1}^ms_i \text{   (*)}$$

Wenn nun \(Q\) in \(U\) liegt, so folgt:

$$2 Q(0)=2s_0=Q(1)=\sum_{i=0}^ms_i \Rightarrow s_0-\sum_{i=1}^ms_i=0$$

Daher folgt mit (*), dass Q Linearkombination der \(B_1, \ldots B_n\) ist. Insgeamt bilden also die \(B_n\) eine Basis für U.

Diese Basis wird durch das Element \(P_0\) zu einer Basis von V ergänzt.