Defbereich arcosh (x)

Question

Es soll begründet werden, warum die Funktion auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist. Die Ableitung habe ich schon gebildet.

Nun meine Frage: Ist arcosh als Umkehrfunktion des cosh überhaupt für alle reellen Zahlen definiert? Ist der Definitionsbereich nicht auf die positiven Zahlen beschränkt?

Answer 1

cosh(x) hat die Bildmenge [1 , ∞ [   und ist  in ℝ₀⁺ bzw. ℝ₀^-  jeweils injektiv.

Die Umkehrfunktion arccosh(x) hat deshalb die Definitionsmenge D = [ 1 , ∞ [

Wegen √(x⁴ + 2)  ≥  √2  > 1  ist  arccosh(√(x⁴ + 2)) deshalb in ℝ wohldefiniert.

 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich habe die Verkettung der Funktionen nicht bedacht... -_-