"Lassen sich diese Funktionen stetig in ihren Definitionslücken fortsetzen? [...]

Question

[...] Falls ja, wie muss der Funktionswert an der entsprechenden Stelle gewählt werden? Belegen Sie Ihre Behauptungen mit aussagekraftigen Grenzwertberechnungen."

$$f: ℝ\setminus \left\{ -2 \right\} \rightarrow ℝ,\quad x\mapsto \frac { 1 }{ x+2 }$$und

$$g:R\setminus \left\{ 0 \right\} \rightarrow R,\quad x\mapsto \frac { { e }^{ x }-1 }{ x }$$

Hänge gerade hier fest. 

Mein Ansatz bei Funktion f wäre gewesen, dass man nun die Stetigkeit von f in x=-2 prüft. Also links- und rechtsseitiger Grenzwert von f mit x → -2.

Hier bekomme ich leider wie befürchtet einen Bruch mit Null im Nenner heraus. Bisher konnte ich bei solchen Funktionen die Brüche umstellen, sodass dieses Problem gelöst wird. Ebenso bei Funktion g. Hier bekäme ich als Grenzwert 0/0.

Hätte jemand einen Denkanstoß für mich?

Comments

"Hier bekomme ich leider wie befürchtet einen Bruch mit Null im Nenner heraus"

Das ist doch der Grund,warum du links und rechtszeitigen Grenzwert betrachten möchtest.
Ich sehe oben noch keine Betrachtung zu links- bzw. rechtsseitigem Grenzwert.

Bei g kannst du H'ospital anwenden.

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Hm,

bei a) ist mir immer noch nicht klar, wie ich zu argumentieren habe. Laut dieser Seite: https://www.massmatics.de/merkzettel/#!179:Limit_of_a_Fraction würde der Grenzwert für f jeweils ±∞ sein. Also lässt sich die Funktion nicht stetig in die Definitionslücke fortführen. Richtig? Aber wie ich das nun formuliere?

Bei b), auch wenn wir explizit L'Hospital noch nicht in der Vorlesung hatten, wäre es ja Fall 0/0. Wenn ich nun Zähler und Nenner ableite, erhalte ich ja e^x bzw. mit x→0 e^0 - also den Grenzwert = 1? Gibt es da auch ähnliche Methoden/Argumentationen zu L'Hospital?

Dankeschön für deine Hilfe!

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hIch bräuchte Hilfe. Könnte mir jemand zeigen, wie ich folgende Aufgabe löse?

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"bei a) ist mir immer noch nicht klar, wie ich zu argumentieren habe. Laut dieser Seite: https://www.massmatics.de/merkzettel/#!179:Limit_of_a_Fraction würde der Grenzwert für f jeweils ±∞ sein. Also lässt sich die Funktion nicht stetig in die Definitionslücke fortführen. Richtig? Aber wie ich das nun formuliere? "

Formulieren könntest du es so(hier nur in Stichworten):

linksseitiger Grenzwert => -unendlich

rechtsseitiger Grenzwert => unendlich

=> nicht stetig fortsetzbar

Answer 1

deine Grenzwertergebnisse sind richtig.

Eine stetige Funktion ist an einer Definitionslücke x₀   genau dann stetig fortsetzbar, wenn lim_x→xo f(x) existiert.

Das ist

bei der 1. Funktion  wegen  lim_x→0 f(x) = ± ∞  nicht der Fall.

bei der 2. Funktion gilt  lim_x→0 f(x) = 1

(Deine Betrachtungen bedeuten gerade die Anwendung von L' Hospital)

Gruß Wolfgang

Comments

warum lässt man die 1. Fkt gegen 0 laufen?

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Das ist noch ein Druckfehler.

Es war gemeint: lim_{x→ -2} f(x) = ± ∞

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wie kommt man bei der 2. Funktion auf den Grenzwert 1?

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lim_(x->0)((e^x - 1)/x )        | Hospital

= lim_(x->0)((e^x )/1 )         | 0 einsetzen

= e^0 / 1

= 1/1

= 1

Du kannst aber auch mit der Reihe von e^x argumentieren, falls du die kennst.